Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Tolaso J Kos

Να δοθεί παράδειγμα ακολουθιών συναρτήσεων $f_n :[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι ομοιόμορφα φραγμένες ( uniformly bounded ) και Riemann ολοκληρώσιμες και συγκλίνουν κατά σημείο σε φραγμένη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Μέχρι το Βαλεντίνο!

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:13 pm
Να δοθεί παράδειγμα ακολουθιών συναρτήσεων $f_n :[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι ομοιόμορφα φραγμένες ( uniformly bounded ) και Riemann ολοκληρώσιμες και συγκλίνουν κατά σημείο σε φραγμένη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Νομίζω ότι είναι αρκετά κοινή Άσκηση, που την βρίσκει κανείς σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης στο κεφάλαιο Riemann Ολοκλήρωμα.

Έστω (q_n)

αρίθμηση των ρητών του [0,1]

. Για $N\in \mathbb N ^*$ θέτουμε f_N(x)=1

αν $x\in \{q_1,\, q_2, \, ... \, , \, q_N\}$ και

αλλιώς. Είναι σαφές ότι οι f_n

είναι Riemann ολοκληρώσιμες (παίρνουν πεπερασμένο πλήθος τιμών) και ότι συγκλίνουν στην μη ολοκληρώσιμη Dirichlet.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την αρίθμηση του $\mathbb{Q}$

Για $n\in \mathbb{N},n\geq 2$

θέτουμε $f_{n}(x)=1$

αν $x=\frac{m}{2^{n}},m=0,1,2,.....,2^{n}$

και

διαφορετικά.

Η πυκνότητα του συνόλου

${x\in [0,1]: x=\frac{m}{2^{n}},m,n\in \mathbb{N}}$

μας δίνει το ζητούμενο.

Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Re: Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Re: Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Μέλη σε σύνδεση