Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:13 pm

Να δοθεί παράδειγμα ακολουθιών συναρτήσεων f_n :[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι ομοιόμορφα φραγμένες ( uniformly bounded ) και Riemann ολοκληρώσιμες και συγκλίνουν κατά σημείο σε φραγμένη συνάρτηση f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} η οποία δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη.


Μέχρι το Βαλεντίνο!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11152
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 14, 2019 9:21 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:13 pm
Να δοθεί παράδειγμα ακολουθιών συναρτήσεων f_n :[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι ομοιόμορφα φραγμένες ( uniformly bounded ) και Riemann ολοκληρώσιμες και συγκλίνουν κατά σημείο σε φραγμένη συνάρτηση f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} η οποία δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη.
Νομίζω ότι είναι αρκετά κοινή Άσκηση, που την βρίσκει κανείς σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης στο κεφάλαιο Riemann Ολοκλήρωμα.

Έστω (q_n) αρίθμηση των ρητών του [0,1]. Για N\in \mathbb N ^* θέτουμε f_N(x)=1 αν x\in \{q_1,\, q_2, \, ... \, , \, q_N\} και 0 αλλιώς. Είναι σαφές ότι οι f_n είναι Riemann ολοκληρώσιμες (παίρνουν πεπερασμένο πλήθος τιμών) και ότι συγκλίνουν στην μη ολοκληρώσιμη Dirichlet.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όχι Riemann ολοκληρώσιμες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 14, 2019 1:08 pm

Μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την αρίθμηση του \mathbb{Q}

Για n\in \mathbb{N},n\geq 2

θέτουμε f_{n}(x)=1

αν x=\frac{m}{2^{n}},m=0,1,2,.....,2^{n}

και 0 διαφορετικά.

Η πυκνότητα του συνόλου


 {x\in [0,1]: x=\frac{m}{2^{n}},m,n\in \mathbb{N}}

μας δίνει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης