Ολοκληρωτική εξίσωση

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Ολοκληρωτική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Παρ Φεβ 08, 2019 4:36 pm

Να προσδιοριστεί συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοια, ώστε \displaystyle f\left(x\right)=\left(1+x^2\right)\left(1+\int_0^x\dfrac{f\left(t\right)}{1+t^2}dt\right), για κάθε x\in\mathb{R}.

Μέχρι 12/02/2019


The road to success is always under construction

Λέξεις Κλειδιά:
Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκληρωτική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Παρ Φεβ 08, 2019 6:06 pm

Έστω η συνάρτηση g(x)=\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{t^2+1}dt
f(x)=(1+x^2)(1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt)\Rightarrow \frac{f(x)}{1+x^2}=1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt\Rightarrow g'(x)=1+g(x)\Rightarrow (e^{-x}g(x))'=(-e^{-x})'\Rightarrow e^{-x}g(x)=-e^{-x}+c\Rightarrow g(x)=-1+ce^{x} \Rightarrow g'(x)=ce^x \Rightarrow \frac{f(x)}{1+x^2}=ce^x\Rightarrow f(x)=ce^x(1+x^2) ,x\in \mathbb{R}
Όμως g(0)=0\Rightarrow c=1 . Άρα f(x)=e^x(x^2+1) ,x\in\mathbb{R}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες