Μηδενική ορίζουσα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Μηδενική ορίζουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am

Δίδεται τυχόν πίνακας A πραγματικός διαστάσεων n \times n. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\begin{vmatrix} 
A &A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{vmatrix} =0 }.


Μέχρι 15/02


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας A πραγματικός διαστάσεων n \times n. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\begin{vmatrix} 
A &A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{vmatrix} =0 }.


Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) \displaystyle{det(A)=0} , τότε ο A θα χει ιδιοτιμή το 0 .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 , έστω v ,τότε το v είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του A της ιδιοτιμής 0 θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

\displaystyle{v' = (v,v)^{T}} βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν det(A)\neq 0 ισχύει το εξής γνωστό ότι αν A αντιστρέψιμος και AC=CA , τότε:

\displaystyle{det(\begin{pmatrix} 
A &B \\  
C &D  
\end{pmatrix})=det(AD-CB)}

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του A αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική ορίζουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 08, 2019 2:03 pm

Θα μπορούσαμε να πάμε και απευθείας με ορίζουσες στην πιο κάτω ισότητα πινάκων:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A & O \\  
A^3 & O 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
I & A \\  
O & O 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
A & A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{pmatrix}}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2372
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μηδενική ορίζουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 08, 2019 4:18 pm

sot arm έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας A πραγματικός διαστάσεων n \times n. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\begin{vmatrix} 
A &A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{vmatrix} =0 }.


Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) \displaystyle{det(A)=0} , τότε ο A θα χει ιδιοτιμή το 0 .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 , έστω v ,τότε το v είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του A της ιδιοτιμής 0 θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

\displaystyle{v' = (v,v)^{T}} βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν det(A)\neq 0 ισχύει το εξής γνωστό ότι αν A αντιστρέψιμος και AC=CA , τότε:

\displaystyle{det(\begin{pmatrix} 
A &B \\  
C &D  
\end{pmatrix})=det(AD-CB)}

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του A αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}



η σωστή σχέση είναι

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
-CA+AC & AD-CB 
\end{pmatrix}}

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.


Εναλλακτικά.Αν A\neq 0 υπάρχει x με Ax\neq 0.

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα (A^{2}x,-Ax)^{T}

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 .

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι 0 .


sot arm
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Παρ Φεβ 08, 2019 5:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 4:18 pm
sot arm έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας A πραγματικός διαστάσεων n \times n. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\begin{vmatrix} 
A &A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{vmatrix} =0 }.


Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) \displaystyle{det(A)=0} , τότε ο A θα χει ιδιοτιμή το 0 .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 , έστω v ,τότε το v είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του A της ιδιοτιμής 0 θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

\displaystyle{v' = (v,v)^{T}} βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν det(A)\neq 0 ισχύει το εξής γνωστό ότι αν A αντιστρέψιμος και AC=CA , τότε:

\displaystyle{det(\begin{pmatrix} 
A &B \\  
C &D  
\end{pmatrix})=det(AD-CB)}

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του A αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}



η σωστή σχέση είναι

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
-CA+AC & AD-CB 
\end{pmatrix}}

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.


Εναλλακτικά.Αν A\neq 0 υπάρχει x με Ax\neq 0.

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα (A^{2}x,-Ax)^{T}

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 .

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι 0 .
Καλησπέρα κύριε Σταύρο, ξανακοιτάξτε το,
αφού αναφέρω παραπάνω οτι A, C αντιμετατιθενται

Φιλικά


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2372
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μηδενική ορίζουσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 08, 2019 5:11 pm

sot arm έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 5:04 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 4:18 pm
sot arm έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας A πραγματικός διαστάσεων n \times n. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\begin{vmatrix} 
A &A^2 \\  
A^3 & A^4 
\end{vmatrix} =0 }.


Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) \displaystyle{det(A)=0} , τότε ο A θα χει ιδιοτιμή το 0 .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 , έστω v ,τότε το v είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του A της ιδιοτιμής 0 θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

\displaystyle{v' = (v,v)^{T}} βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν det(A)\neq 0 ισχύει το εξής γνωστό ότι αν A αντιστρέψιμος και AC=CA , τότε:

\displaystyle{det(\begin{pmatrix} 
A &B \\  
C &D  
\end{pmatrix})=det(AD-CB)}

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του A αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
O & AD-CB 
\end{pmatrix}}



η σωστή σχέση είναι

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
A^{-1} & O \\  
-C & A 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
A & B \\  
C & D 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I_{n} &A^{-1}B \\  
-CA+AC & AD-CB 
\end{pmatrix}}

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.


Εναλλακτικά.Αν A\neq 0 υπάρχει x με Ax\neq 0.

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα (A^{2}x,-Ax)^{T}

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 .

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι 0 .
Καλησπέρα κύριε Σταύρο, ξανακοιτάξτε το,
αφού αναφέρω παραπάνω οτι A, C αντιμετατιθενται

Φιλικά
Δεν το είδα έχεις δίκιο. Απλά η σχέση που έγραψα ισχύει γενικά
αρκεί ο A^{-1} να υπάρχει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11146
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μηδενική ορίζουσα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 08, 2019 9:53 pm

Απειροελάχιστη παραλλαγή της λύσης του Σταύρου:

Για κάθε x\neq 0 το διάνυσμα (Ax,-x)^{T}

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0.

Άρα η ορίζουσά του είναι 0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2372
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μηδενική ορίζουσα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 09, 2019 5:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 9:53 pm
Απειροελάχιστη παραλλαγή της λύσης του Σταύρου:

Για κάθε x\neq 0 το διάνυσμα (Ax,-x)^{T}

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0.

Άρα η ορίζουσά του είναι 0.
Αυτή είναι η ενδεδειγμένη λύση.

Η οποία δίνει ότι η τάξη του πίνακα είναι το πολύ n.(γιατί ; )

Ετσι η ορίζουσα κάθε k\times k,k>n υποπίνακα του αρχικού

είναι 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης