Σελίδα 1 από 1

Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 07, 2019 10:36 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
1)Εστω S ομαλή επιφάνεια και σημείο της p_{0}\in S

Αν για κάθε p\in S είναι

\left \| p_{0} \right \|\geq \left \| p \right \|

να δειχθεί ότι

K(p_{0})\left \| p_{0} \right \|^{2}\geq 1

2) Να δειχθεί ότι κάθε συμπαγής ομαλή επιφάνεια έχει ελλειπτικά σημεία.

σημείωση.Το K(p_{0}) είναι η καμπυλότητα Gauss στο σημείο p_{0}
Το \left \| . \right \| είναι η Ευκλείδεια νόρμα.

Μέχρι 15-2-2019

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 17, 2019 10:40 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επαναφορά για όλους.

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 13, 2019 1:25 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
1)Εστω X παραμέτριση της επιφάνειας με X(q_{0})=p_{0}

Επειδή \left \| X(q) \right \|^{2}\leq \left \| X(q_{0}) \right \|^{2}

η f(q)=X(q).X(q) παίρνει μέγιστη τιμή στο q_{0}

αν λοιπόν q=(u,v) τότε f_{u}(q_{0})=f_{v}(q_{0})=0

δηλαδή X_{u}(q_{0}).X(q_{0})=0=X_{v}(q_{0}).X(q_{0})

Συμπεραίνουμε ότι p_{0}=X(q_{0})=cN(p_{0})
(το N(p_{0}) είναι το μοναδιαίο κάθετο στο p_{0})

όπου c\in \mathbb{R},|c|=\left \| p_{0} \right \|

Θεωρούμε a:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow S

καμπύλη με a(0)=p_{0}

Η g(t)=\left \| a(t) \right \|^{2} παίρνει μέγιστη τιμή στο 0

Αρα g''(0)\leq 0

δηλαδή a'(0)^{2}+a(0).a''(0)\leq 0

Προκύπτει ότι a'(0)^{2}+cN(a(0))a''(0)\leq 0 (1)

Από την σχέση N(a(t)).a'(t)=0

παραγωγίζοντας παίρνουμε N(a(t))'.a'(t)+N(a(t)).a''(t)=0

Θέτοντας t=0 η προηγούμενη δίνει (dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)+N(a(0))a''(0)=0

Η τελευταία και η (1) δίνουν

-c(dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)\geq a'(0)^{2}(2)

Εστω k_{1},k_{2} οι κύριες καμπυλότητες και w_{1},w_{2} οι κύριες διευθύνσεις στο p_{0}

Διαλέγοντας την a ώστε a'(0)=w_{1} η (2) δίνει 1\leq ck_{1}(3)

ενώ αν a'(0)=w_{2} η (2) δίνει 1\leq ck_{2}(4)

πολλαπλασιάζοντας τις (3),(4) έχουμε c^{2}k_{1}k_{2}\geq 1

Αφού K(p_{0})=k_{1}k_{2} και |c|=\left \| p_{0} \right \|

έχουμε την ζητούμενη.

2) Λόγω συμπάγειας θα υπάρχει σημείο της επιφάνειας που ικανοποιεί το 1)
Τότε όμως θα είναι K(p_{0})>0 που δείχνει ότι το p_{0} είναι ελλειπτικό σημείο.