Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια
1)Εστω ομαλή επιφάνεια και σημείο της
Αν για κάθε είναι
να δειχθεί ότι
2) Να δειχθεί ότι κάθε συμπαγής ομαλή επιφάνεια έχει ελλειπτικά σημεία.
σημείωση.Το είναι η καμπυλότητα Gauss στο σημείο
Το είναι η Ευκλείδεια νόρμα.
Μέχρι 15-2-2019
Αν για κάθε είναι
να δειχθεί ότι
2) Να δειχθεί ότι κάθε συμπαγής ομαλή επιφάνεια έχει ελλειπτικά σημεία.
σημείωση.Το είναι η καμπυλότητα Gauss στο σημείο
Το είναι η Ευκλείδεια νόρμα.
Μέχρι 15-2-2019
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια
1)Εστω παραμέτριση της επιφάνειας με
Επειδή
η παίρνει μέγιστη τιμή στο
αν λοιπόν τότε
δηλαδή
Συμπεραίνουμε ότι
(το είναι το μοναδιαίο κάθετο στο )
όπου
Θεωρούμε
καμπύλη με
Η παίρνει μέγιστη τιμή στο
Αρα
δηλαδή
Προκύπτει ότι (1)
Από την σχέση
παραγωγίζοντας παίρνουμε
Θέτοντας η προηγούμενη δίνει
Η τελευταία και η (1) δίνουν
(2)
Εστω οι κύριες καμπυλότητες και οι κύριες διευθύνσεις στο
Διαλέγοντας την ώστε η (2) δίνει (3)
ενώ αν η (2) δίνει (4)
πολλαπλασιάζοντας τις (3),(4) έχουμε
Αφού και
έχουμε την ζητούμενη.
2) Λόγω συμπάγειας θα υπάρχει σημείο της επιφάνειας που ικανοποιεί το 1)
Τότε όμως θα είναι που δείχνει ότι το είναι ελλειπτικό σημείο.
Επειδή
η παίρνει μέγιστη τιμή στο
αν λοιπόν τότε
δηλαδή
Συμπεραίνουμε ότι
(το είναι το μοναδιαίο κάθετο στο )
όπου
Θεωρούμε
καμπύλη με
Η παίρνει μέγιστη τιμή στο
Αρα
δηλαδή
Προκύπτει ότι (1)
Από την σχέση
παραγωγίζοντας παίρνουμε
Θέτοντας η προηγούμενη δίνει
Η τελευταία και η (1) δίνουν
(2)
Εστω οι κύριες καμπυλότητες και οι κύριες διευθύνσεις στο
Διαλέγοντας την ώστε η (2) δίνει (3)
ενώ αν η (2) δίνει (4)
πολλαπλασιάζοντας τις (3),(4) έχουμε
Αφού και
έχουμε την ζητούμενη.
2) Λόγω συμπάγειας θα υπάρχει σημείο της επιφάνειας που ικανοποιεί το 1)
Τότε όμως θα είναι που δείχνει ότι το είναι ελλειπτικό σημείο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες