Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2573
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 07, 2019 10:36 pm

1)Εστω S ομαλή επιφάνεια και σημείο της p_{0}\in S

Αν για κάθε p\in S είναι

\left \| p_{0} \right \|\geq \left \| p \right \|

να δειχθεί ότι

K(p_{0})\left \| p_{0} \right \|^{2}\geq 1

2) Να δειχθεί ότι κάθε συμπαγής ομαλή επιφάνεια έχει ελλειπτικά σημεία.

σημείωση.Το K(p_{0}) είναι η καμπυλότητα Gauss στο σημείο p_{0}
Το \left \| . \right \| είναι η Ευκλείδεια νόρμα.

Μέχρι 15-2-2019



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2573
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 17, 2019 10:40 am

Επαναφορά για όλους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2573
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 13, 2019 1:25 pm

1)Εστω X παραμέτριση της επιφάνειας με X(q_{0})=p_{0}

Επειδή \left \| X(q) \right \|^{2}\leq \left \| X(q_{0}) \right \|^{2}

η f(q)=X(q).X(q) παίρνει μέγιστη τιμή στο q_{0}

αν λοιπόν q=(u,v) τότε f_{u}(q_{0})=f_{v}(q_{0})=0

δηλαδή X_{u}(q_{0}).X(q_{0})=0=X_{v}(q_{0}).X(q_{0})

Συμπεραίνουμε ότι p_{0}=X(q_{0})=cN(p_{0})
(το N(p_{0}) είναι το μοναδιαίο κάθετο στο p_{0})

όπου c\in \mathbb{R},|c|=\left \| p_{0} \right \|

Θεωρούμε a:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow S

καμπύλη με a(0)=p_{0}

Η g(t)=\left \| a(t) \right \|^{2} παίρνει μέγιστη τιμή στο 0

Αρα g''(0)\leq 0

δηλαδή a'(0)^{2}+a(0).a''(0)\leq 0

Προκύπτει ότι a'(0)^{2}+cN(a(0))a''(0)\leq 0 (1)

Από την σχέση N(a(t)).a'(t)=0

παραγωγίζοντας παίρνουμε N(a(t))'.a'(t)+N(a(t)).a''(t)=0

Θέτοντας t=0 η προηγούμενη δίνει (dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)+N(a(0))a''(0)=0

Η τελευταία και η (1) δίνουν

-c(dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)\geq a'(0)^{2}(2)

Εστω k_{1},k_{2} οι κύριες καμπυλότητες και w_{1},w_{2} οι κύριες διευθύνσεις στο p_{0}

Διαλέγοντας την a ώστε a'(0)=w_{1} η (2) δίνει 1\leq ck_{1}(3)

ενώ αν a'(0)=w_{2} η (2) δίνει 1\leq ck_{2}(4)

πολλαπλασιάζοντας τις (3),(4) έχουμε c^{2}k_{1}k_{2}\geq 1

Αφού K(p_{0})=k_{1}k_{2} και |c|=\left \| p_{0} \right \|

έχουμε την ζητούμενη.

2) Λόγω συμπάγειας θα υπάρχει σημείο της επιφάνειας που ικανοποιεί το 1)
Τότε όμως θα είναι K(p_{0})>0 που δείχνει ότι το p_{0} είναι ελλειπτικό σημείο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης