Τελεστές Kuratowski

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Τελεστές Kuratowski

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Σάβ Ιουν 05, 2021 8:47 pm

Πρόταση : Έστω \displaystyle{\mathbb{X}} σύνολο \displaystyle{f : P \big( \mathbb{X} \big) \rightarrow P \big( \mathbb{X} \big)} συνάρτηση τέτοια ώστε:
  • (1) \displaystyle{f \big( \emptyset \big) = \emptyset}
  • (2) \displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq f(A)}
  • (3) \displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( f(A) \big) = f(A)}
  • (4) \displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( A \cup B \big) = f(A) \cup f(B)}
Τότε υπάρχει μοναδική τοπολογία \displaystyle{\tau} επί του \displaystyle{\mathbb{X}} τέτοια ώστε στον τοπολογικό χώρο \displaystyle{\big( \mathbb{X}, \tau \big)} να έχουμε \displaystyle{Cl(A) = f(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}

Πρόβλημα : Έστω \displaystyle{\mathbb{X}} σύνολο \displaystyle{h : P \big( \mathbb{X} \big) \rightarrow P \big( \mathbb{X} \big)} συνάρτηση τέτοια ώστε:
  • \displaystyle{h \big( \emptyset \big) = \emptyset}
  • \displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( A \big) = h \big( A^{c} \big)}
  • \displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( h(A) \big) \subseteq h(A)}
  • \displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \cap B \cap h \big( A \cap B \big) = A \cap B \cap \big( h(A) \cup h(B) \big)}
Τότε η \displaystyle{\tau = \big \{ A - h(A) : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \}} ορίζει τοπολογία επί του \displaystyle{\mathbb{X}} τέτοια ώστε \displaystyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}.

Απάντηση, όχι ολοκληρωμένη : Θέτουμε \displaystyle{f(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}. Τότε ισχύει:
  • \displaystyle{\boxed{f \big( \emptyset \big) = \emptyset \cup h \big( \emptyset \big) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset}}
  • \displaystyle{\boxed{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq A \cup h(A) = f(A)}}
  • \displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \Bigg[ h \bigg( h^{-1} \big( f(A) \big) \bigg) \Bigg] \subseteq h \bigg( h^{-1} \big( f(A) \big) \bigg) \Rightarrow h \big( f(A) \big) \subseteq f(A) \Rightarrow \boxed{f \big( f(A) \big) = f(A) \cup h \big( f(A) \big) = f(A)}}
  • \displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq A \cup B , B \subseteq A \cup B \Rightarrow f(A) \subseteq f \big( A \cup B \big) , f(B) \subseteq f \big( A \cup B \big) \Rightarrow \underline{f(A) \cup f(B) \subseteq f \big( A \cup B \big)}}
\displaystyle{\underline{f \big( A \cup B \big) \subseteq f(A) \cup f(B)} \Leftrightarrow A \cup B \cup h \big( A \cup B \big) \subseteq A \cup B \cup h(A) \cup h(B) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow  A^{c} \cap B^{c} \cap \big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c} \cap \big[ h \big( A \cup B \big) \big]^{c} \Leftrightarrow  A^{c} \cap B^{c} \cap \big( h(A^{c}) \big)^{c} \cap \big( h(B^{c}) \big)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c} \cap \big[ h \big( A^{c} \cap B^{c} \big) \big]^{c} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \underline{A \cap B \cap \big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq A \cap B \cap \big[ h \big( A^{c} \cap B^{c} \big) \big]^{c}}} στη συνέχεια είναι όμως \displaystyle{A \cap B \subseteq A , A \cap B \subseteq B \Rightarrow h \big( A \cap B \big) \subseteq h(A) , h \big( A \cap B \big) \subseteq h(B) \Rightarrow h \big( A \cap B \big) \subseteq h(A) \cup h(B) \Rightarrow}

\displaystyle{\Rightarrow \underline{\big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq \big[ h \big( A \cap B \big) \big]^{c}}} το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο. Άρα \displaystyle{\boxed{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( A \cup B \big) = f(A) \cup f(B)}}

Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική τοπολογία \displaystyle{\sigma = \big \{ \mathbb{X} - f(B) : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ \mathbb{X} - \big( B \cup h(B) \big) : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ B^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ B^{c} \cap \big( h(B^{c}) \big)^{c} : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} =}
\displaystyle{= \big \{ A \cap \big( h(A) \big)^{c} : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ A - h(A) : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \}  } και θα ισχύει ότι \displaystyle{f(A) = Cl(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)} και \displaystyle{Cl(A) = A \cup Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)} και συνεπώς \displaystyle{A \cup Bd(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}.

\displaystyle{\rightarrow} Ερώτημα : Πως αποδεικνύεται ότι \displastyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)} ;
\displaystyle{\rightarrow} Δηλαδή αν ισχύει \displaystyle{A \cup Bd(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)} πως συνεπάγεται \displastyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)} ;
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Κυρ Ιουν 06, 2021 3:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Τελεστές Kuratowski

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιουν 06, 2021 11:34 am

Καλημέρα. Με μια πρώτη ματιά (τώρα πίνω καφέ :lol: :lol: :lol: :lol: ) η 3η ιδιότητα δεν μου φαίνεται σωστή. (δεν τη βλέπω μάλλον)

Επίσης φαντάζομαι ότι στην πρόταση, σαν τοπολογία \tau έχουμε την \tau=\left\{X\setminus f(A): A\in P(X)\right\}.

Για το ερώτημα στο τέλος, θα το ξανασκεφτώ και θα απαντήσω, εκτός αν απαντήσει κάποιος άλλος.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τελεστές Kuratowski

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 06, 2021 11:58 am

BAGGP93 έγραψε:
Κυρ Ιουν 06, 2021 11:34 am
Καλημέρα. Με μια πρώτη ματιά (τώρα πίνω καφέ :lol: :lol: :lol: :lol: ) η 3η ιδιότητα δεν μου φαίνεται σωστή. (δεν τη βλέπω μάλλον)

Επίσης φαντάζομαι ότι στην πρόταση, σαν τοπολογία \tau έχουμε την \tau=\left\{X\setminus f(A): A\in P(X)\right\}.

Για το ερώτημα στο τέλος, θα το ξανασκεφτώ και θα απαντήσω, εκτός αν απαντήσει κάποιος άλλος.
H 3η ιδιότητα που αναφέρεσαι, δηλαδή η

\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( f(A) \big) \subseteq h(A)}

είναι προφανές τυπογραφικό σφάλμα. Το σωστό είναι

\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big({\color {red} h}(A) \big) \subseteq h(A)}.

Η άσκηση αυτή υπάρχει σε πολλές Τοπολογίες ή στο ίντερνετ, οπότε δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εδώ λόγω του επίπονου της πληκτρολόγησης. Οι λέξεις κλειδί για να την ψάξει κανείς είναι "Kuratowski closure axioms"


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Τελεστές Kuratowski

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιουν 06, 2021 12:10 pm

Ευχαριστούμε κύριε Λάμπρου.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Τελεστές Kuratowski

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Δευ Ιουν 07, 2021 10:28 pm

Υπάρχει δυνατότητα να παραθέσετε το pdf αρχείο ή την ιστοσελίδα ώστε να δω την αναλυτική απόδειξη χωρίς κενά. Ευχαριστώ πολύ.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Τελεστές Kuratowski

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Ιουν 08, 2021 4:52 pm

Λύση, ολοκληρωμένη : \displaystyle{Bd(A) = Cl(A) \cap Cl(A^{c}) = f(A) \cap f(A^{c}) = \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A^{c}) \big] = }

\displaystyle{= \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A) \big] = \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap A^{c} \Big] \cup \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap h(A) \Big] = }

\displaystyle{= \Big[ \big( A \cap A^{c} \big) \cup \big( A^{c} \cap h(A) \big) \Big] \cup h(A) = \big( A^{c} \cap h(A) \big) \cup h(A) = h(A), \forall A \in P(\amthbb{X})}

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι \displaystyle{h(A) \subseteq A \cup h(A)}, \displaystyle{A \cap A^{c} = \emptyset} και \displaystyle{A^{c} \cap h(A) \subseteq h(A)}.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Τελεστές Kuratowski

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Ιουν 08, 2021 5:57 pm

TrItOs έγραψε:
Τρί Ιουν 08, 2021 4:52 pm
Λύση, ολοκληρωμένη : \displaystyle{Bd(A) = Cl(A) \cap Cl(A^{c}) = f(A) \cap f(A^{c}) = \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A^{c}) \big] = }

\displaystyle{= \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A) \big] = \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap A^{c} \Big] \cup \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap h(A) \Big] = }

\displaystyle{= \Big[ \big( A \cap A^{c} \big) \cup \big( A^{c} \cap h(A) \big) \Big] \cup h(A) = \big( A^{c} \cap h(A) \big) \cup h(A) = h(A), \forall A \in P(\amthbb{X})}

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι \displaystyle{h(A) \subseteq A \cup h(A)}, \displaystyle{A \cap A^{c} = \emptyset} και \displaystyle{A^{c} \cap h(A) \subseteq h(A)}.
ωραίος.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης