Ομοιόμορφη σύγκλιση

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 x^2 + n}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε $x \geq 0$ .

Μέχρι αύριο βράδυ.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 12:42 pm
Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 x^2 + n}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε $x \geq 0$ .

Για κάθε σταθερό

η ακολουθία (a_n)

, όπου $\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^3 x^2 + n}}$ , είναι φθίνουσα. Έστω S_n

το μερικό άθροισμα και

το ολικό (που βέβαια υπάρχει αφού η σειρά συγκλίνει ως εναλλάσσουσα. Ως γνωστόν (και απλό) η $(S_{2n})$ αυξάνει προς το όριό της

. Άρα

$\displaystyle{0\le |S-S_{2n}|= S-S_{2n} = a_{2n+1}-a_{2n+2}+a_{2n+3}+...= a_{2n+1}-(a_{2n+2}-a_{2n+3})+... \le a_{2n+1}= }$

$\displaystyle{=\frac{1}{(2n+1)^3 x^2 + 2n+1}\le \frac{1}{ 2n+1}}$

Άρα η $(S_{2n})$ συγκλίνει ομοιόμορφα. Επίσης, για περιττό δείκτη έχουμε

$\displaystyle{0\le |S-S_{2n+1}|\le |S-S_{2n}|+ a_{2n+1} \le \frac{1}{ 2n+1} + \frac{1}{ 2n+1}}$ , οπότε και πάλι έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση. Και λοιπά.

Ομοιόμορφη σύγκλιση

Ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση