Ομοιόμορφη συνέχεια

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4334
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ομοιόμορφη συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 14, 2020 1:09 am

Για κάθε x \in \mathbb{R} και κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε

\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}
και έστω f το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f . Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x) ισχύει όταν x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} ενώ είναι λανθασμένη όταν x=0.



Μέχρι Τρίτη βράδυ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12329
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 15, 2020 12:36 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 1:09 am
Για κάθε x \in \mathbb{R} και κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε

\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}
και έστω f το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f . Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x) ισχύει όταν x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} ενώ είναι λανθασμένη όταν x=0.
Είναι f_n(0)=0\to 0 και για x\ne 0 είναι άμεσο ότι f_n(x)\to 0. Συνεπώς f=0. Για να δείξουμε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για κάθε x είναι

\displaystyle{| f_n(x)-f(x) |= \frac{|x|}{1+nx^2}\le \frac {1}{2\sqrt n} \to 0} (η τελευταία ανισότητα ισοδυναμεί με την (1-\sqrt n|x|)^2\ge 0).

Για την παράγωγο: Aν x\ne 0 τότε

|f_n{'}(x)-f'(x)|= |\frac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}|=\dfrac {\frac {1}{n^2} - \frac {x^2}{n}} {\frac {1}{n^2} +\frac {2x^2}{n}+x^4 } \to \dfrac {0 - 0} {0+0+x^4 }  =0

Ενώ για x=0 έχουμε |f_n{'}(0)-f'(0)| =1\not \rightarrow 0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 15, 2020 12:47 am

Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4334
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 15, 2020 7:27 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 12:47 am
Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.

Έχεις δίκιο Σταύρο. Από τη βιασύνη μου το 'γραψα ομοιόμορφη συνέχεια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης