Είναι ολοκληρώσιμη

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Είναι ολοκληρώσιμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 23, 2019 11:23 pm

Εστω
f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}

μετρίσημη συνάρτηση ώστε η

f\log ^{+}|f|

να είναι ολοκληρώσιμη.

Να δειχθεί ότι και η

f\log \frac{1}{|x|}

είναι ολοκληρώσιμη στο [-1,1]

Σημειώσεις
1)u^{+}=max(0,u)
2)Αν κάποιος δεν γνωρίζει το ολοκλήρωμα Lebesgue ας την λύσει με τις πρόσθετες
προυποθέσεις
f> 0
τα ολοκληρώματα είναι γενικευμένα Riemann

Μέχρι 27-9-2019



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 28, 2019 6:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Σεπ 23, 2019 11:23 pm
Εστω
f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}

μετρίσημη συνάρτηση ώστε η

f\log ^{+}|f|

να είναι ολοκληρώσιμη.

Να δειχθεί ότι και η

f\log \frac{1}{|x|}

είναι ολοκληρώσιμη στο [-1,1]

Σημειώσεις
1)u^{+}=max(0,u)
2)Αν κάποιος δεν γνωρίζει το ολοκλήρωμα Lebesgue ας την λύσει με τις πρόσθετες
προυποθέσεις
f> 0
τα ολοκληρώματα είναι γενικευμένα Riemann

Ανοικτή για όλους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 12, 2019 1:22 am

Υπόδειξη.
1)Χωρίστε το σύνολο τιμών της f σε δύο κατάλληλα υποσύνολα.
(χρειάζεται ολοκλήρωμα Lebesgue)
2) Δείξτε ότι xy\leq x\ln ^{+}x+e^{y}-1
(δεν χρειάζεται ολοκλήρωμα Lebesgue)
προφανώς οι δύο υποδείξεις είναι για δύο διαφορετικές λύσεις.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 13, 2019 8:55 pm

Γράφω λύση με βάση την πρώτη υπόδειξη.
Θεωρούμε τα σύνολα
A=\left \{ x:|f(x)|> \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}} \right \},B=\left \{ x:|f(x)|\leq \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}} \right \}
Είναι

\int |f|\log \frac{1}{|x|}=2\int |f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}=2\int _{A}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}+2\int _{B}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}

Αλλά
\int _{B}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}\leq \int_{-1}^{1} |x|^{-\frac{1}{2}}\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}< +\infty
και
\int _{A}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}\leq \int _{A}|f|\log^{+}|f|\leq \int_{-1}^{1}|f|\log^{+}|f|

που δίνουν το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης