Σταθερό πολυώνυμο

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Απάντηση
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σταθερό πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Φεβ 10, 2019 10:58 am

Να αποδειχθεί ότι αν για το πολυώνυμο p \in\mathbb{R}_n[x] ισχύει p(x+1)=p(x), για κάθε x\in\mathbb{R}, τότε το p είναι σταθερό.



Μέχρι 15/2/2019


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Λέξεις Κλειδιά:
πολυώνυμο
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερό πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 17, 2019 10:59 am

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 10:58 am
 Να αποδειχθεί ότι αν για το πολυώνυμο p \in\mathbb{R}_n[x] ισχύει p(x+1)=p(x), για κάθε x\in\mathbb{R}, τότε το p είναι σταθερό.
Για να κλείνει: Η υπόθεση δίνει p(0)=p(1)=p(2)=... . Άρα το q(x)=p(x)-p(0) έχει άπειρες ρίζες (όλους τους φυσικούς), συνεπώς είναι σταθερό. Και λοιπά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σταθερό πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Φεβ 17, 2019 11:16 am

Ακόμα μια: Από την συνθήκη p(x+1)=p(x) το p είναι περιοδική συνάρτηση και επειδή είναι και συνεχής, πρέπει να είναι φραγμένη. Όμως τα μη-σταθερά πολυώνυμα έχουν \lim_{x\to\infty}p(x)=\infty\,. Επομένως...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2459
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σταθερό πολυώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 17, 2019 6:54 pm

Να σημειώσω το ότι έχουμε το \mathbb{R} χρειάζεται για να έχουμε άπειρο σώμα.

Αν το σώμα είναι πεπερασμένο δεν ισχύει.
π.χ
Αν έχουμε το \mathbb{Z}_{2}

και πάρουμε p(x)=x^{2}+x+1

τότε τα πολυώνυμα p(x),p(x+1) είναι ίσα και ως πολυώνυμα.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης