mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am**

: Ιδιόμορφη ισότητα.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Έστω ημικύκλιο κέντρου

και διαμέτρου

. Δεχόμαστε ότι ένα σημείο ,

του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο

,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα

τέμνει την ακτίνα

σε σημείο

. Ας είναι και σημείο

της ακτίνας

με ,

.

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : MN = MO

.

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 9:48 am**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am
Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

Με ύλη Γ' Γυμνασίου.

Λόγω της μεσοκαθέτου είναι TO=TB

και λόγω της MN//OL,

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

: Ιδιόμορφη ισότητα.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle MN = \frac{{OL}}{2} = \frac{{OT}}{2}$ και $\displaystyle ON = \frac{{OS}}{2} = \frac{{OB}}{2}.$ Άρα τα τρίγωνα MON, TOB

είναι όμοια κι επειδή TO=TB,

θα είναι και $\boxed{MN=MO}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 10:01 am**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

To

είναι ισοσκελές, οπότε $\widehat {TLO}= \widehat {LOT}=\theta$ . Άρα $\widehat {TOB}= 2\theta= \widehat {TBO}$ και από παραλληλία είναι $\widehat {MNO}= 2\theta$ . Άρα τα τρίγωνα MNO, OTB

είναι όμοια αφού $MN=\dfrac {1}{2} LO=\dfrac {1}{2}TB$ , και $ΟN=\dfrac {1}{2} OS=\dfrac {1}{2}OB$ , και έχουν ίσες περιεχόμενες γωνίες. Τώρα, αφού το δεύτερο είναι ισοσκελές, έπεται ότι είναι ισοσκελές και το πρώτο, από όπου το ζητούμενο.

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος, με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.
.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 4:06 pm**

Άμα πάρουμε το αντιδιαμετρικό

του

ως προς τον (O)

Το γινόμενο $OT\cdot OQ$ μεταφέρεται μέσω ίσων τμημάτων στο γινόμενο $OL\cdot OB$
δηλ LTBQ

εγγράψιμο

: Ισότητα.png (764.32 KiB) Προβλήθηκε 1258 φορές

$\angle LQO=\angle LQT=\angle LBT$
όπου η τελευταία μεταφέρεται στην κατακορυφήν της γωνίας $\angle TOB$ μέσω της ισότητας TO=TB

δηλαδή στην $\angle QOL$
οπότε OL=QL

από μεσοσυνδετήρια τμήματα στα τρίγωνα LOS

,

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 11:21 pm**

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 4:06 pm
Άμα πάρουμε το αντιδιαμετρικό του ως προς τον
Το γινόμενο $OT\cdot OQ$ μεταφέρεται μέσω ίσων τμημάτων στο γινόμενο $OL\cdot OB$
δηλ εγγράψιμο
Ισότητα.png
$\angle LQO=\angle LQT=\angle LBT$
όπου η τελευταία μεταφέρεται στην κατακορυφήν της γωνίας $\angle TOB$ μέσω της ισότητας
δηλαδή στην $\angle QOL$
οπότε
από μεσοσυνδετήρια τμήματα στα τρίγωνα ,

: Ιδιόμορφη ισότητα_dimessi.png (32.79 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 13, 2025 1:45 am**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am
Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

Έστω

συμμετρικό του

ως προς

οπότε

. Θα αποδείξουμε ότι $DO \bot ON$

Με TC// BS

προφανώς το BCTS

είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα

OC=OT=OL=TB=CS

οπότε

μεσοκάθετος της

Επειδή όμως OC=OL=//DN

το

είναι παραλ/μμο ,άρα και $DO \bot ON$

: Ιδιόμορφη ισότητα.png (49.03 KiB) Προβλήθηκε 1229 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 13, 2025 8:53 am**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

: shape.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 13, 2025 9:21 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 12, 2025 8:50 am
Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $LS\,\,,\,\,OS$ αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

$NI//OB\Rightarrow \dfrac{NI}{NT}=\dfrac{R}{OL},(*)$ , ON.NT=MN.NI

,

Οπότε το τετράπλευρο MOIT

είναι εγγράψιμο και

$\hat{MON}=\hat{MIT}=\hat{TNI}=\hat{MNO}$

mathematica.gr

Ιδιόμορφη ισότητα

Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα

Re: Ιδιόμορφη ισότητα