mathematica.gr

Να κατασκευαστεί πεντάγωνο αν μας δίδουν το πεντάγωνο , που ορίζουν τα μέσα των πλευρών του,

του , του κ. ο, κ .

Δεκτές λύσεις μόνο με Ευκλείδεια κατασκευή .

Στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου υπάρχει αντίστοιχη άσκηση αλλά με συντεταγμένες . Προφανώς όχι τέτοιες λύσεις .

Doloros έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 08, 2025 6:35 am

Σχεδιασμός πενταγώνου.png

Να κατασκευαστεί πεντάγωνο αν μας δίδουν το πεντάγωνο , που ορίζουν τα μέσα των πλευρών του,

του , του κ. ο, κ .

Δεκτές λύσεις μόνο με Ευκλείδεια κατασκευή .

Στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου υπάρχει αντίστοιχη άσκηση αλλά με συντεταγμένες . Προφανώς όχι τέτοιες λύσεις .

Ανάλυση: Υποθέτω ότι το κατασκευάστηκε και έστω ένα σημείο του επιπέδου και το συμμετρικό

του ως προς . Στη συνέχεια παίρνω το συμμετρικό του ως προς το συμμετρικό του ως προς

το συμμετρικό του ως προς και το συμμετρικό του ως προς Επειδή τα τμήματα

είναι ίσα και παράλληλα, τα σημεία είναι συνευθειακά. Οδηγούμαστε έτσι

στην παρακάτω κατασκευή. Κατασκευή: Έστω τυχόν σημείο του επιπέδου. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία της ανάλυσης, εντοπίζω το

σημείο και έστω το μέσο του Θεωρώ το συμμετρικό του ως προς το συμμετρικό του ως προς

το συμμετρικό του ως προς και το συμμετρικό του ως προς και ολοκληρώνεται η κατασκευή.


Σχόλιο: Την κατασκευή αυτή την διδάχτηκα όταν πήγαινα φροντιστήριο και μου έμεινε γιατί εφαρμόζεται

σε οποιοδήποτε πολύγωνο με περιττό αριθμό πλευρών, όταν γνωρίζουμε τα μέσα των πλευρών του.



edit: Συμπλήρωσα τα λόγια της κατασκευής και το σχόλιο.

Doloros έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 08, 2025 6:35 am

Να κατασκευαστεί πεντάγωνο αν μας δίδουν το πεντάγωνο , που ορίζουν τα μέσα των πλευρών του, του , του κ. ο, κ . Δεκτές λύσεις μόνο με Ευκλείδεια κατασκευή .
Στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου υπάρχει αντίστοιχη άσκηση αλλά με συντεταγμένες . Προφανώς όχι τέτοιες λύσεις .

Καλημέρα με μία σκέψη επί του πιεστηρίου για δύο λόγους, ο πρώτος για την καλημέρα μου στον Νίκο και ο δεύτερος επειδή "απαίτησε" Ευκλείδεια κατασκευή.

Το παραλληλόγραμμο κατασκευάζεται αν είναι το μέσο της διαγωνίου που είναι και παράλληλη στo

Αν εκατέρωθεν του σημείου και σε συμμετρικές θέσεις παίρνουμε και έτσι προσδιορίζουμε τα σημεία

Με πρόλαβε ο Σωτήρης. Όταν τέλειωσα να σχεδιάζω το σχήμα ανάρτησε λύση, ίδια με αυτή που είχα πρόθεση να γράψω. Την καταγράφω για το σχήμα.

Ανάλυση: Φέρνουμε την και βρίσκουμε το μέσον της . Το είναι παραλληλόγραμμο που ξέρουμε τις τρεις κορυφές του. Άρα βρίσκουμε την τέταρτη .

Σύνθεση: Βρίσκουμε την τέταρτη κορυφή του παραλληλογραμμου . Τώρα του τριγώνου ξέρουμε τα μέσα των πλευρών του. Άρα βρίσκουμε τις κορυφές του φέρνοντας παράλληλες στις . Έτσι βρίσκουμε την κορυφή . Όμοια οι άλλες κορυφές.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 08, 2025 10:13 am

Με πρόλαβε ο Σωτήρης. Όταν τέλειωσα να σχεδιάζω το σχήμα ανάρτησε λύση, ίδια με αυτή που είχα πρόθεση να γράψω. Την καταγράφω για το σχήμα.

Ανάλυση: Φέρνουμε την και βρίσκουμε το μέσον της . Το είναι παραλληλόγραμμο που ξέρουμε τις τρεις κορυφές του. Άρα βρίσκουμε την τέταρτη .

Σύνθεση: Βρίσκουμε την τέταρτη κορυφή του παραλληλογραμμου . Τώρα του τριγώνου ξέρουμε τα μέσα των πλευρών του. Άρα βρίσκουμε τις κορυφές του φέρνοντας παράλληλες στις . Έτσι βρίσκουμε την κορυφή . Όμοια οι άλλες κορυφές.

Ευχαριστώ όλους σας για τις απαντήσεις . τον Κ Λάμπρου γιατί μου έδωσε χαρά ( έχουμε ίδια λύση !)

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Προφανώς το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιοριστεί τουλάχιστο μια κορυφής του ,.

Φέρνω την και το πεντάγωνο χωρίζεται στο τετράπλευρο και στο τρίγωνο Αν το μέσο του προφανώς το είναι παραλληλόγραμμο και άρα το προσδιορίζεται ανεξάρτητα από το .

Είναι το το συμμετρικό του ως προς το μέσο του .

Από το το , δηλαδή προσδιορίζονται τα Τα υπόλοιπα απλά .

Δεν είχε σχήμα η λύση του Σωτήρη και δεν πρόσεξα ότι στο ίδιο μήκος κύματος είναι και η λύση του .Συγνώμη Σωτήρη !

Πάντως και η λύση του Γιώργου μου άρεσε πολύ γιατί δεν την σκέφτηκα .

Doloros έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 08, 2025 6:35 am

Να κατασκευαστεί πεντάγωνο αν μας δίδουν το πεντάγωνο , που ορίζουν τα μέσα των πλευρών του, του , του κ. ο, κ . Δεκτές λύσεις μόνο με Ευκλείδεια κατασκευή . Στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου υπάρχει αντίστοιχη άσκηση αλλά με συντεταγμένες . Προφανώς όχι τέτοιες λύσεις .

Άντε για χάρη της πολυφωνίας δηλαδή τουλάχιστον μίας ακόμη τρίτης λύσης και με βάση το σχήμα του κατασκευαστή Νίκου
στην αρχική εισηγητική του ανάρτηση.


Βέβαια και επί της ουσίας γνωρίζουμε τις διαγώνιους του προς κατασκευή πενταγώνου και ταυτόχρονα την πλευρά του

αφού δηλαδή το τρίγωνο είναι κατασκευάσιμο.

Άρα τελικά πάμε να κατασκευάσουμε πεντάγωνο που γνωρίζουμε τα μέσα των πλευρών του αλλά πλέον και τα μήκη τους.