Άλγεβρα και Γεωμετρία

orestisgotsis · #1

Κενό

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 07, 2023 11:45 am
Να δειχθεί ότι, σε κάθε τρίγωνο του οποίου οι γωνίες αποτελούν αριθμητική

πρόοδο, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ισαπέχει από το κέντρο του

περιγεγραμμένου κύκλου και από το ορθόκεντρό του.

Χωρίς βλάβη θεωρώ ότι $\displaystyle \widehat A > \widehat B > \widehat C$ και έστω $\theta$ η διαφορά της προόδου. Τότε έχουμε

τις γωνίες $\displaystyle \widehat A = \widehat B + \theta ,\widehat B, C = \widehat B - \theta ,$ απ' όπου $\widehat B=60^\circ.$

: Άλγεβρα και Γεωμετρία.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

$\displaystyle A\widehat HC = 180^\circ - \widehat B = 120^\circ = 90^\circ + \frac{{\widehat B}}{2} = A\widehat IC = 2\widehat B = A\widehat OC,$ άρα τα A, H, I, O, C

είναι ομοκυκλικά.

$\displaystyle H\widehat AI = B\widehat AI - B\widehat AD = \frac{{60^\circ + \theta }}{2} - 30^\circ = \frac{\theta }{2}$

$\displaystyle I\widehat CO = I\widehat CB - O\widehat CM = \frac{{60^\circ - \theta }}{2} - (90^\circ - \widehat A) = \frac{\theta }{2}$

Άρα, $\displaystyle H\widehat AI = I\widehat CO \Leftrightarrow$ $\boxed{IH=IO}$

#3

Όπως είναι φανερό από την παραπάνω απόδειξη, δεν χρειάζεται να είναι οι γωνίες του τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο, αλλά μόνο να είναι μία τουλάχιστον γωνία ίση με $\displaystyle{60^o.}$

Επίσης ας προσθέσω ότι αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{\boxed{s=\sqrt{3}(R+r)}}$

Άλγεβρα και Γεωμετρία

Άλγεβρα και Γεωμετρία

Re: Άλγεβρα και Γεωμετρία

Re: Άλγεβρα και Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση