mathematica.gr

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 08, 2022 10:59 pm

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Από το ορθογώνιο τρίγωνο , τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, και το ισοσκελές τρίγωνο είναι

.

Συνεπώς, η τριχοτομεί την γωνία .

Απειροελάχιστη παραλλαγή:

Είναι εξ υποθέσεως. Είναι ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών . Mε άλλα λόγια

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 08, 2022 10:59 pm

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Η άσκηση προφανώς ειναι απλούστατη

Το ενδιαφέρον βέβαια διδακτικό κομμάτι κατα την ταπεινή μου άποψη για τους μαθητές θα ήταν η κατασκευή ενός απο τα άπειρα τρίγωνα με την ιδιότητα αυτή ( αναφέρομαι πάντα για μαθητές Α Λυκείου ή μικρότερους )

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑

Πέμ Ιουν 09, 2022 3:08 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 08, 2022 10:59 pm

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Η άσκηση προφανώς ειναι απλούστατη

Το ενδιαφέρον βέβαια διδακτικό κομμάτι κατα την ταπεινή μου άποψη για τους μαθητές θα ήταν η κατασκευή ενός απο τα άπειρα τρίγωνα με την ιδιότητα αυτή ( αναφέρομαι πάντα για μαθητές Α Λυκείου ή μικρότερους )

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο και γράφω τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Επί του κύκλου θεωρώ σημείο ώστε και από το φέρνω κάθετη στην που τέμνει τον κύκλο στο Το είναι ένα από τα ζητούμενα τρίγωνα.

Πράγματι, το είναι εκ κατασκευής το ύψος του και από την προφανή ισότητα των τριγώνων η που είναι και διάμετρος του κύκλου, διχοτομεί τη γωνία

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑

Πέμ Ιουν 09, 2022 3:08 am

Το ενδιαφέρον βέβαια διδακτικό κομμάτι κατα την ταπεινή μου άποψη για τους μαθητές θα ήταν η κατασκευή ενός απο τα άπειρα τρίγωνα με την ιδιότητα αυτή ( αναφέρομαι πάντα για μαθητές Α Λυκείου ή μικρότερους )

Μία κατασκευή είναι τα ανάποδα βήματα της απόδειξης που έγραψα. Συγκεκριμένα, γράφουμε ορθογώνιο τρίγωνο . Φέρνουμε δύο ημιευθείες από το έτσι ώστε να σχηματίζονται γωνίες . Προεκτείνουμε την μέxρι να τμήσει την εξωτερική ημιευθεία στο . Από το φέρνω κάθετη στην μέχρι να τμήσει την άλλη ημιευθεία (διχοτόμο) στο . Παρατηρώ ότι ως συμπληρωματικές των ίσων και , οπότε το είναι εγγράψιμο. Ο κύκλος που το περιέχει είναι βέβαια ο περιγεγραμμένος του και το κέντρο του είναι επί της διχοτόμου διότι ορθή. Τελειώσαμε.

Πιστεύω ότι το ευθύ και το αντίστροφο είναι ωραία άσκηση για πρωτάρη της Α' Λυκείου.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 08, 2022 10:59 pm

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Αλλιώς.

Έστω ότι οι επιμέρους γωνίες στην κορυφή είναι και (δύο φορές).

Φέρνουμε την κάθετο από το στην . Είναι τότε .

Επειδή το είναι ισοσκελές, έχουμε . Άρα η ως εξωτερική του τριγώνου είναι .

Λόγω παραλληλίας των έχουμε , δηλαδή . Άρα , και τελειώσαμε.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 08, 2022 10:59 pm

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε το ύψος . Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δείξτε ότι η τριχοτομεί την γωνία .

Έστω ευθύγραμμο τμήμα και τη γωνία , με .

Ας είναι το συμμετρικό του ως προς την . Η κάθετη στο επί την τέμνει τη μεσοκάθετη του σε σημείο .

Η τέμνει την στο . Το τρίγωνο είναι ένα από τα άπειρα που υπάρχουν με τις ιδιότητες που θέλω. Απόδειξη .

Με την τυχαία επιλογή της γωνίας με η γωνία γιατί ως γνωστό .