Μισή ορθή

#1

: Μισή ορθή.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Σε τετράγωνο ABCD

και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

Aν

η πλευρά του τετραγώνου, τότε $DG= \dfrac {a\sqrt 3}{3}$ , οπότε $GA=a- \dfrac {a\sqrt 3}{3}$ , άρα $AF = \left (a- \dfrac {a\sqrt 3}{3} \right )\sqrt 3= (\sqrt 3-1)a$ και $FB=a-(\sqrt 3-1)a= (2-\sqrt 3)a$

Άρα $\tan \widehat {FCB} = 2-\sqrt 3=\tan 15$ . Tο τελευταίο π.χ. από το ανάπτυγμα του $\tan (45-30)$ . Έτσι η ζητούμενη είναι $90^o - \widehat {DCG}-15^o=90^o-30^o-15^o=45^o$

#3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

Eντός ύλης Α' Λυκείου:

Φέρνουμε την κάθετο

από το

στην

. Tα ορθογώνια τρίγωνα $CDG,\, CGM$ είναι ίσα (κοινή υποτείνουσα και γωνίες 60^o

). Άρα

είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου και $\widehat {GCM} = \widehat {DCG} =30^o$ .

Tα ορθογώνια τρίγωνα $CMF,\, CFB$ είναι ίσα (κοινή υποτείνουσα και ίσες καθέτους) άρα $\widehat {MCF} = \widehat {FCB}$ και άρα καθεμία από $\frac {1}{2}\cdot 30^o=15^o$ . Συνεπώς η ζητούμενη γωνία είναι 30^o+15^o=45^o

.

#4

: Μισή ορθή_Lamprou.png (22.34 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Το σχήμα της πιο πάνω λύσης

( Φόρτος εργασίας γαρ , λόγω του γνωστού διαγωνισμού)

#5

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

Εντός φακέλου.

: Μισή ορθή.png (18.05 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Φέρνω την $FE\bot GC$ που τέμνει την

στο

Είναι

κι επειδή το GFCZ

είναι εγγράψιμο

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα το CEF

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $G\widehat CF = 45^\circ$

#6

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 11:18 am

Το σχήμα της πιο πάνω λύσης

Νίκο, να 'σαι καλά.

Ζηλεύω τα σχήματά σου, όπως και άλλων εδώ στο φόρουμ, οπότε πρέπει να μάθω πώς τα κάνετε. Ο ίδιος τα κάνω με Powerpoint, γι' αυτό βγαίνουν χοντροκοπιές.

#7

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

Η

τέμνει την

στο

Αν

είναι πλευρά του τετραγώνου, τότε $\displaystyle DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

: Μισή ορθή.β.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

$\displaystyle \frac{{DG}}{{BC}} = \frac{{GE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{GE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \frac{{GE}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} \Leftrightarrow GE = \frac{{2a}}{{3 + \sqrt 3 }} = \frac{{2a(3 - \sqrt 3 )}}{6} \Leftrightarrow$

$\displaystyle GE = a - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = AG,$ άρα τα τρίγωνα AGF, EGF

είναι ίσα οπότε $G\widehat EF=90^\circ,$ που σημαίνει ότι

το CEFB

είναι εγγράψιμο και $\boxed{\theta=45^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

Με $BE=DG\Rightarrow GA=AE \Rightarrow \angle GEA=45^0$ (βλέπε σχήμα) και $\triangle CDG= \triangle CEB$

Άρα $\angle FEC= \angle CGD= \angle CGF =60^0 \Rightarrow CGEF$ εγγράψιμμο,συνεπώς $\angle \theta =45^0$

: Μισή ορθή.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλό βράδυ!

: 22-1 Μισή ορθή.png (221.31 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Ο κύκλος των C,F,G

τέμνει την

και στο

. Το τρίγωνο FOC

με δύο

άρες είναι ισόπλευρο

άρα και τα BFC,DOC

ίσα με FB=OD

.

Έτσι

και το

ορθογώνιο και ισοσκελές οπότε $\widehat{GCF}=\widehat{GOF}=45^o$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #10

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 10:01 am
Σε τετράγωνο και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ$ .

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ$ .

Η άσκηση έχει πληθώρα λύσεων αλλά πιο έγκυρες οι εντός φακέλου . Όλες όμως δεκτές .

: shape.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Έστω $K \equiv BD \cap CG$

Το KFAG

είναι εγγράψιμο, όπως και το KCBF

, οπότε $\theta = {45^ \circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #11

Χαιρετώ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση:

: 25 -1 Μισή της διπλανής .png (127.5 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Το

είναι ρόμβος και $\widehat{DGC}=\widehat{CGF}$ . Τότε $\widehat{FCG}=\widehat{D}/2$ ...Φιλικά, Γιώργος.

#12

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 25, 2022 9:19 pm
Χαιρετώ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση:
25 -1 Μισή της διπλανής .png
Το είναι ρόμβος και $\widehat{DGC}=\widehat{CGF}$ . Τότε $\widehat{FCG}=\widehat{D}/2$ ...Φιλικά, Γιώργος.

: Ομοκυκλική πεντάδα.β.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

έχει αποδειχθεί εδώ ότι το AFMG

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle G\widehat MF = 2\omega.$ Επομένως και το DGMC

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle G\widehat CF = \omega.$

#13

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 25, 2022 9:19 pm
Χαιρετώ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση:
25 -1 Μισή της διπλανής .png
Το είναι ρόμβος και $\widehat{DGC}=\widehat{CGF}$ . Τότε $\widehat{FCG}=\widehat{D}/2$ ...Φιλικά, Γιώργος.

Ας το δούμε ανάδρομα .

Θεωρώ τυχαίο σημείο

της πλευράς

του ρόμβου και τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABG$ που τέμνει τη διαγώνιο

στο

.

Ας είναι και

το σημείο τομής των $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ . Κάθε σημείο της διαγωνίου

ισαπέχει των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Αβίαστα λοιπόν προκύπτει ότι όλες οι κίτρινες γωνίας είναι ίσες με $\widehat {{\omega _{}}}$ κάθε μια .

: Μισή ορθή γενίκευση.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Κάθε πράσινη γωνία , $\widehat {{\theta _{}}}$ είναι ίση με μια κίτρινη και μια γαλάζια $\widehat {{\xi _{}}}$ .

Έτσι τα τετράπλευρα : $GCKT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCFK$ είναι εγγράψιμα και τα σημεία , T,G,C,F,K

ομοκυκλικά , συνεπώς $\boxed{\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\xi _{}}}}$ .

Δηλαδή η

διχοτομεί τη $\widehat {BGF}$ και προφανώς $\widehat {CBA} = 2\widehat {GAF}$ .

Μισή ορθή

Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Re: Μισή ορθή

Μέλη σε σύνδεση