Θα μπορούσε και σχολική
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Θα μπορούσε και σχολική
με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι τένμνονται στο να δείξετε ότι
Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τριγώνου . Επομένως, ισχύει: .
Ας είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα: .
Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Συνεπώς: .
Προφανώς είναι: . Όμως, προκύπτει και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Εύκολα διαπιστώνουμε πως και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επομένως, . Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου προκύπτει:
Τελικά, παρατηρούμε πως: , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε:
Ας είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα: .
Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Συνεπώς: .
Προφανώς είναι: . Όμως, προκύπτει και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Εύκολα διαπιστώνουμε πως και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επομένως, . Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου προκύπτει:
Τελικά, παρατηρούμε πως: , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε:
-
- Δημοσιεύσεις: 5
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2021 1:14 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Αρκεί να δείξουμε ότι .
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο , έχουμε ότι .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο , έχουμε ότι .
Αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, γιατί τότε θα ισχύει: .
Αρκεί να δείξουμε ότι , δηλαδή ότι .
Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε ότι (ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές) και το ζητούμενο δείχτηκε.
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο , έχουμε ότι .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο , έχουμε ότι .
Αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, γιατί τότε θα ισχύει: .
Αρκεί να δείξουμε ότι , δηλαδή ότι .
Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε ότι (ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές) και το ζητούμενο δείχτηκε.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Ευχαριστώ τον Φίλιππο και τον Παναγιώτη για τις λύσεις τους.
Πιστεύετε ότι η άσκηση αυτή είναι επιπέδου IMO shortlist;
Πιστεύετε ότι η άσκηση αυτή είναι επιπέδου IMO shortlist;
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Μια χαρά την αξιολόγησες. Κι όμως είναι από 2010 IMO Shortlist!ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pmΘεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Θα μπορούσε και σχολική
εγγράψιμο , άρα
εγγράψιμο, άρα
, άρα ( από εγγράψιμο )
επομένως που αποδεικνύει το ζητούμενο.
εγγράψιμο, άρα
, άρα ( από εγγράψιμο )
επομένως που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες