Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα συμμετρικά των ως προς τα μέσα των αντίστοιχα (δεν τα ονομάζω ισοτομικά για να δικαιολογείται ο φάκελος ). Να δείξετε ότι , όπου τα μέσα των αντίστοιχα και το κέντρο του έγκυκλου.
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 15, 2021 12:21 pmΠαραλληλία από μέσα στη διχοτόμο.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα συμμετρικά των ως προς τα μέσα των αντίστοιχα (δεν τα ονομάζω ισοτομικά για να δικαιολογείται ο φάκελος ). Να δείξετε ότι , όπου τα μέσα των αντίστοιχα και το κέντρο του έγκυκλου.
Στάθης
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Εστω Δηλαδή τα τετράπλευραΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 15, 2021 12:21 pmΠαραλληλία από μέσα στη διχοτόμο.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα συμμετρικά των ως προς τα μέσα των αντίστοιχα (δεν τα ονομάζω ισοτομικά για να δικαιολογείται ο φάκελος ). Να δείξετε ότι , όπου τα μέσα των αντίστοιχα και το κέντρο του έγκυκλου.
Στάθης
είναι παραλληλόγραμμα . Ακόμη
Οπότε δηλαδή το τριγωνο είναι ισοσκελές και ,γιατί εχουν πλευρές παράλληλες και στο παραλληλόγραμμο
οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα ,η Ειναι και διχοτόμος της γωνίας οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα και οι διχοτόμοι των ίσων γωνιών παραλληλες
- Συνημμένα
-
- Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα.png (86.68 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση στηριγμένη στη Θεωρία των μέσων του ΤΕΡΑΣΤΙΟΥ Γεωμέτρη μας Μανώλη Γεωργακάκη. Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε (ως συνδέουσα τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου) και παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται), οπότε: και συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 15, 2021 12:21 pmΠαραλληλία από μέσα στη διχοτόμο.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα συμμετρικά των ως προς τα μέσα των αντίστοιχα (δεν τα ονομάζω ισοτομικά για να δικαιολογείται ο φάκελος ). Να δείξετε ότι , όπου τα μέσα των αντίστοιχα και το κέντρο του έγκυκλου.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Από τα φέρνω τις παράλληλες στην όπως φαίνεται στο σχήμα. και επειδή η είναι διάμεσος του τραπεζίου θαΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 15, 2021 12:21 pmΠαραλληλία από μέσα στη διχοτόμο.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα συμμετρικά των ως προς τα μέσα των αντίστοιχα (δεν τα ονομάζω ισοτομικά για να δικαιολογείται ο φάκελος ). Να δείξετε ότι , όπου τα μέσα των αντίστοιχα και το κέντρο του έγκυκλου.
Στάθης
είναι Τα τρίγωνα, λοιπόν, έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και
άρα Αλλά, και
το ζητούμενο έπεται (Όποιος θέλει εξηγήσεις για το συμπέρασμα είμαι στη διάθεσή του).
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Λόγω συμμετρίας προκύπτει άμεσα ότι , οπότε σύμφωνα με γνωστό λήμμα (βλέπε το λήμμα 1 viewtopic.php?f=22&t=68789&p=334622#p334622) ο περιγεγραμμένος
κύκλος του διέρχεται από το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου
του .
Έστω ότι η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τον κύκλο του στο σηµείο ,
που είναι το µέσο του τόξου που δεν περιέχει την κορυφή , δηλαδή, .
Εποµένως, το είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα στο σηµείο ,
που είναι το µέσο της . ΄Οµοια, το είναι το µέσο του τόξου του κύκλου και το σηµείο είναι το µέσο του .
Εφόσον το είναι ισοσκελές, και η γωνία της κορυφής του ισούται µε τη γωνία BAC, τότε
.
Τώρα, τα τρίγωνα και είναι όµοια, εφόσον
(χρησιµοποιείται δύο ϕορές το γεγονός ότι γωνίες εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο
είναι ίσες), και . Από τα παραπάνω προκύπτει ότι
τα και είναι ύψη των τριγώνων και αντίστοιχα. Εποµένως, τα σηµεία και
διαιρούν τις πλευρές και σε ίσους λόγους, δηλαδή, οι ευθείες και
είναι παράλληλες, οπότε άµεσα προκύπτει το ζητούµενο.
κύκλος του διέρχεται από το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου
του .
Έστω ότι η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τον κύκλο του στο σηµείο ,
που είναι το µέσο του τόξου που δεν περιέχει την κορυφή , δηλαδή, .
Εποµένως, το είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα στο σηµείο ,
που είναι το µέσο της . ΄Οµοια, το είναι το µέσο του τόξου του κύκλου και το σηµείο είναι το µέσο του .
Εφόσον το είναι ισοσκελές, και η γωνία της κορυφής του ισούται µε τη γωνία BAC, τότε
.
Τώρα, τα τρίγωνα και είναι όµοια, εφόσον
(χρησιµοποιείται δύο ϕορές το γεγονός ότι γωνίες εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο
είναι ίσες), και . Από τα παραπάνω προκύπτει ότι
τα και είναι ύψη των τριγώνων και αντίστοιχα. Εποµένως, τα σηµεία και
διαιρούν τις πλευρές και σε ίσους λόγους, δηλαδή, οι ευθείες και
είναι παράλληλες, οπότε άµεσα προκύπτει το ζητούµενο.
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Πέμ Δεκ 16, 2021 11:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Ίσως στην προηγούμενή μου ανάρτηση (#5) να μην είναι σαφής η αιτιολόγηση ότι Πιο συγκεκριμένα θα αποδείξω την παρακάτω πρόταση-λήμμα:
Αν σε δύο τρίγωνα μία γωνία του ενός είναι παραπληρωματική μιας γωνίας του άλλου και οι δύο πλευρές που δεν
περιέχουν αυτές τις γωνίες είναι ίσες μία προς μία, τότε οι τρίτες γωνίες των τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους. Στο σχήμα τα τρίγωνα έχουν και Θα δείξω ότι
Αν η πρόταση προφανώς ισχύει. Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι η είναι οξεία και η αμβλεία. Στην
προέκταση της προς το θεωρώ σημείο ώστε Τα αμβλυγώνια τρίγωνα έχουν
τις αμβλείες γωνίες ίσες και άρα είναι ίσα (έμμεσο κριτήριο ισότητας). Οπότε
Αλλά το είναι ισοσκελές και άρα και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Αν σε δύο τρίγωνα μία γωνία του ενός είναι παραπληρωματική μιας γωνίας του άλλου και οι δύο πλευρές που δεν
περιέχουν αυτές τις γωνίες είναι ίσες μία προς μία, τότε οι τρίτες γωνίες των τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους. Στο σχήμα τα τρίγωνα έχουν και Θα δείξω ότι
Αν η πρόταση προφανώς ισχύει. Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι η είναι οξεία και η αμβλεία. Στην
προέκταση της προς το θεωρώ σημείο ώστε Τα αμβλυγώνια τρίγωνα έχουν
τις αμβλείες γωνίες ίσες και άρα είναι ίσα (έμμεσο κριτήριο ισότητας). Οπότε
Αλλά το είναι ισοσκελές και άρα και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Ευχαριστούμε Γιώργοgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 16, 2021 9:42 amΊσως στην προηγούμενή μου ανάρτηση (#5) να μην είναι σαφής η αιτιολόγηση ότι Πιο συγκεκριμένα θα αποδείξω την παρακάτω πρόταση-λήμμα:
Αν σε δύο τρίγωνα μία γωνία του ενός είναι παραπληρωματική μιας γωνίας του άλλου και οι δύο πλευρές που δεν
περιέχουν αυτές τις γωνίες είναι ίσες μία προς μία, τότε οι τρίτες γωνίες των τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους.
Ισότητα γωνιών-λήμμα.png
Στο σχήμα τα τρίγωνα έχουν και Θα δείξω ότι
Αν η πρόταση προφανώς ισχύει. Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι η είναι οξεία και η αμβλεία. Στην
προέκταση της προς το θεωρώ σημείο ώστε Τα αμβλυγώνια τρίγωνα έχουν
τις αμβλείες γωνίες ίσες και άρα είναι ίσα (έμμεσο κριτήριο ισότητας). Οπότε
Αλλά το είναι ισοσκελές και άρα και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Κι εγώ έτσι το προσεγγίζω το θέμα
Αν το συμμετρικό του ως προς το , τότε άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
. Λοιπόν έχουμε και λέμε:
όμως λόγω θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Αν το συμμετρικό του ως προς το , τότε άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
. Λοιπόν έχουμε και λέμε:
όμως λόγω θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες