Συμμετρία και καθετότητες

#1

: Συμμετρία και καθετότητες.png (15.49 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Έστω το συμμετρικό του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου $\vartriangle ABC$ ως προς την και το σημείο τομής της καθέτου επί την στο σημείο με την , με το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $SN\bot AN$

#2

Επαναφορά

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 15, 2021 1:19 pm
Έστω το συμμετρικό του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου $\vartriangle ABC$ ως προς την και το σημείο τομής της καθέτου επί την στο σημείο με την , με το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $SN\bot AN$

Και τις δύσκολες να προσπαθούμε και τις εύκολες να μην ξεχνούμε.

: Συμμετρία και καθετότητες.; f=20 t=70510.PNG (22.31 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

$\bullet$ Έστω

, το μέσον της πλευράς

και ας είναι

, το συμμετρικό του

, ως προς το

και άρα, έχουμε $OM = MO'\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και $AH = 2OM\Rightarrow$ $AH\parallel = OO'\ \ \ ,(2)$

Από (2)

και

, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι τα σημεία H,N,O'

, είναι συνευθειακά.

Το τετράπλευρο NOO'N'

είναι ισοσκελές τραπέζιο από $NN'\parallel OO'$ και την ευθεία

, ως κοινή μεσοκάθετη των βάσεών του και επομένως, το σημείο έστω $P\equiv NO'\cap ON'$ ανήκει ατην ευθεία

.

Το τετράπλευρο SNPN'

τώρα, είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία

και από $SN\perp NP$ , όπου $NP\equiv AN$ , συμπεραίνεται ότι $SN'\perp N'P$ και το ζητούμενο έχει αποδεχθεί.

Κώστας Βήττας.

Συμμετρία και καθετότητες

Συμμετρία και καθετότητες

Re: Συμμετρία και καθετότητες

Re: Συμμετρία και καθετότητες

Μέλη σε σύνδεση