Άθροισμα 45°
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Άθροισμα 45°
α) Να κατασκευαστεί γεωμετρικά σημείο της πλευράς τέτοιο ώστε .
β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο , δείξετε ότι:
Όλες οι λύσεις δεκτές .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Οκτ 06, 2021 10:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13298
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Άθροισμα 45°
α) Φέρνω από το εφαπτομένη στον κύκλο που τέμνει την στο ζητούμενο σημείο Η απόδειξη είναι απλή. β) άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε και το ζητούμενο έπεται.
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα 45°
Ανάλυση: - Αν το σημείο τομής της διχοτόμου με την διαγώνιο, τότε η διχοτόμος είναι και μεσοκάθετος της .
Κατασκευή: - Γράφω το ημικύκλιο με βάση .
Αν φέρουμε και την άλλη διαγώνιο, εύκολα βλέπουμε ότι .
Κατασκευή: - Γράφω το ημικύκλιο με βάση .
Αν φέρουμε και την άλλη διαγώνιο, εύκολα βλέπουμε ότι .
- Συνημμένα
-
- rsz_angle45.png (42.25 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Re: Άθροισμα 45°
Για το α)
Φέρνουμε και έστω το συμμετρικό του ως προς το .
Εστω ότι η γωνία . To τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού είναι ύψος και διάμεσος, οπότε θα είναι και διχοτόμος.
To τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί άρα .
Φέρνουμε την και έστω σημείο τομής της με την . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές γιατί .
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές άρα :
και .
Συνεπώς
Για το β)
Στην αρχή το έλυσα όπως ο κ.Βισβίκης αλλά για να μην είναι ίδια η λύση έφερα την .
Από το πρώτο ερώτημα ευκόλα προκύπτει ότι άρα
οπότε η είναι μεσοκάθετος του άρα και διχοτόμος της γωνίας
Απο το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε
Συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί . Αρα
Το τετράπλευρο είναι και αυτό εγγράψιμο γιατί . Αρα
Επομένως . Αρα
Φέρνουμε και έστω το συμμετρικό του ως προς το .
Εστω ότι η γωνία . To τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού είναι ύψος και διάμεσος, οπότε θα είναι και διχοτόμος.
To τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί άρα .
Φέρνουμε την και έστω σημείο τομής της με την . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές γιατί .
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές άρα :
και .
Συνεπώς
Για το β)
Στην αρχή το έλυσα όπως ο κ.Βισβίκης αλλά για να μην είναι ίδια η λύση έφερα την .
Από το πρώτο ερώτημα ευκόλα προκύπτει ότι άρα
οπότε η είναι μεσοκάθετος του άρα και διχοτόμος της γωνίας
Απο το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε
Συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί . Αρα
Το τετράπλευρο είναι και αυτό εγγράψιμο γιατί . Αρα
Επομένως . Αρα
Καλό Καλοκαίρι!
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Άθροισμα 45°
Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την στο , τότε η τέμνει
την στο σημείο που ζητάει ο Νίκος.
Απόδειξη.
Φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα στο σχήμα.
Έστω . Θα δείξω ότι και .
Προφανώς .
Αφού έπεται ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
Οπότε .
Άρα το είναι εγγράψιμο.
Επομένως .
Για το δεύτερο ερώτημα του Νίκου.
Είναι .
Αλλά (διότι ).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες