Τρίγωνο-134.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 100.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Στο παραπάνω σχήμα να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 10, 2021 4:51 pm
100.png

Στο παραπάνω σχήμα να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

$\sin \theta = \dfrac {BH}{BC}= \dfrac {AB\cos 18}{a+2b}= \dfrac {a\cos 18}{a+2a\sin 18}= \dfrac {\cos 18}{1+2\sin 18}$

Tώρα,με χρήση του $\sin 18^o = \dfrac {\sqrt 5 -1}{4}$ έχουμε $4\sin ^2 18^o +2\sin 18^o = 1$ . Άρα το παραπάνω συνεχίζεται ως

$\dfrac {\cos 18^o}{1+2\sin 18^o}= \dfrac {2\sin 18^o \cos 18^o}{2\sin 18^o(1+2\sin 18^o)} =\sin 36^o \cdot \dfrac {1}{2\sin 18^o(1+2\sin 18^o)} = \sin 36 ^o$ .

Τελικά $\theta = 36^o$

#3

Έστω

σημείο της προς το

προέκτασης της

με

, άρα

.

Ας είναι και

σημείο της

με

άρα

και αβίαστα προκύπτουν :

Ότι KB = KE

επί πλέον δε οι τιμές των γωνιών που φαίνονται στο σχήμα

: τρίγωνο 134.png (30.46 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Τα τρίγωνα $KBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KBC$ είναι αμβλυγώνια και από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων είναι ίσα .

Συνεπώς : $KB = KC \Rightarrow \boxed{\theta = 36^\circ }$

nickchalkida · #4

Υπολογίζω διαδοχικά

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {b \over a} = sin18^o = {\sqrt{5}-1 \over 4} \cr & BH^2 = a^2-b^2 = {5 + \sqrt{5} \over 8} a^2, \ \ \ BC^2 = {3 + \sqrt{5} \over 2} a^2, \ \ \ {BH^2 \over BC^2} = {5 - \sqrt{5} \over 8} \cr \end{aligned} }$

οπότε

$\displaystyle{ \sin a = {BH \over BC} \rightarrow a = \arcsin{\sqrt{{5-\sqrt{5}\over 8}}}=36^o }$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα!
Θεωρούμε το αρχικό τριγωνο του Φάνη και δεύτερο τρίγωνο όπως στο σχήμα που ακολουθεί.

: 11-9 Τρίγωνο 134 Φ.Θ.png (103.13 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Το τρίγωνο MON

έχει $OM=ON...\widehat{O}=36^o$ και MN=AB=a

.Το

είναι ύψος του και παίρνουμε EF=EN

Τα ορθογώνια τρίγωνα MEN,ABH

έχουν ίσες υποτείνουσες και από μία

άρα γωνία άρα είναι ίσα

οπότε ME=BH

και

.

Με τη βοήθεια και των γωνιών παίρνουμε OF=MF=MN=a

και

Τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα EMO,BHC

έχουν

και

συνεπώς είναι ίσα άρα και $\widehat{\theta }=\widehat{O}=36^o$ .

Φιλικά, Γιώργος.

#6

Εκτός φακέλου. Είναι $\displaystyle \cos 36^\circ = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}$

: Τρίγωνο 134.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

$\displaystyle \sin 18^\circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{{a + 2b}}{a} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin 72^\circ }}{{\sin \theta }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ }}{{\sin \theta }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin 36^\circ }}{{\sin \theta }} = 1$ και $\boxed{\theta=36^\circ}$

Τρίγωνο-134.

Τρίγωνο-134.

Re: Τρίγωνο-134.

Re: Τρίγωνο-134.

Re: Τρίγωνο-134.

Re: Τρίγωνο-134.

Re: Τρίγωνο-134.

Μέλη σε σύνδεση