Μέσο στη διαγώνιο

#1

: Μέσο στη διαγώνιο.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Έστω

η προβολή της κορυφής

ορθογωνίου ABCD

πάνω στη διαγώνιο BD.

Αν

είναι το μέσο

της

και

είναι σημείο της

ώστε $M\widehat NC=90^\circ,$ να δείξετε ότι το

είναι μέσο του ED.

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές. Ωστόσο, περιμένω τουλάχιστον μία εντός φακέλου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 27, 2021 5:17 pm
Μέσο στη διαγώνιο.png
Έστω η προβολή της κορυφής ορθογωνίου πάνω στη διαγώνιο Αν είναι το μέσο

της και είναι σημείο της ώστε $M\widehat NC=90^\circ,$ να δείξετε ότι το είναι μέσο του

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές. Ωστόσο, περιμένω τουλάχιστον μία εντός φακέλου.

: Μέσο στη διαγώνιο.png (21.09 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Ας είναι

το μέσο της

, άρα το

είναι ορθογώνιο , συνεπώς τα σημεία :

M,B,C,T,N

είναι ομοκυκλικά με τις $MC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ διαμέτρους αυτού του κύκλου.

Θα είναι συνεπώς: $CE \bot BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TN \bot BD$ και άρα, TN//CE

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ECD

το

το μέσο της

και

, οπότε και το

είναι μέσο της

.

Στα κιτάπια μου έχω κι άλλες λύσεις. Ας γράψουν κι άλλοι και βλέπουμε.

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 27, 2021 5:17 pm
Μέσο στη διαγώνιο.png
Έστω η προβολή της κορυφής ορθογωνίου πάνω στη διαγώνιο Αν είναι το μέσο

της και είναι σημείο της ώστε $M\widehat NC=90^\circ,$ να δείξετε ότι το είναι μέσο του

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές. Ωστόσο, περιμένω τουλάχιστον μία εντός φακέλου.

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ANBS

και προεκτείνω τη AN=NT

αρα

Είναι παραλληλόγραμμο , NM=MS,TJ=JS,MJ=JK,TK=KB,

Στο τρίγωνο $TAB,NK//AB,NK=\dfrac{AB}{2},AB//CD,NK//CD,NK=\dfrac{CD}{2}$ Δηλαδή στο τριγωνο $DEC,NK//DC,KN=\dfrac{DC}{2}\Rightarrow EK=KC$ οπότε το TCBE

είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοι διχοτομούνται αρα ET=BC=AD

και απο την ισότητα των τριγώνων $ADN=NTE\Rightarrow DN=NE$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 27, 2021 5:17 pm
Μέσο στη διαγώνιο.png
Έστω η προβολή της κορυφής ορθογωνίου πάνω στη διαγώνιο Αν είναι το μέσο

της και είναι σημείο της ώστε $M\widehat NC=90^\circ,$ να δείξετε ότι το είναι μέσο του

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές. Ωστόσο, περιμένω τουλάχιστον μία εντός φακέλου.

Με

συμμετρικό του

ως προς

,το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα $CP \bot AP$

Αν $PA \cap CN=Q$ ,επειδή

μέσον της

και

,

θα είναι CN=NQ

και

Αλλά

είναι μέσον της

και

,συνεπώς

άρα $QD \bot DB$

Επομένως DQPE

ορθογώνιο,άρα DQ=//EP=//CE

οπότε

παραλ/μμο και DN=NE

: Μέσο στη διαγώνιο.png (24.83 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 27, 2021 5:17 pm
Μέσο στη διαγώνιο.png
Έστω η προβολή της κορυφής ορθογωνίου πάνω στη διαγώνιο Αν είναι το μέσο

της και είναι σημείο της ώστε $M\widehat NC=90^\circ,$ να δείξετε ότι το είναι μέσο του

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές. Ωστόσο, περιμένω τουλάχιστον μία εντός φακέλου.

: Μέσο στη διαγώνιο_new_1.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$ .

Ταυτόχρονα θα ισχύουν : $BH//MN\,$ και το ${\rm H}$ είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle NBC$ .

Άρα το τετράπλευρο MBHN

είναι παραλληλόγραμμο και στο τρίγωνο $\vartriangle ECD$ , $\boxed{NH// = \frac{{DC}}{2}}$ .

Άρα αναγκαστικά τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ είναι μέσα των $ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$

( γιατί εύκολα αν δεν ισχύουν τα προηγούμενα οδηγούμαι σε μαθηματικό αδιέξοδο –αίτημα Ευκλείδη)

Μέσο στη διαγώνιο

Μέσο στη διαγώνιο

Re: Μέσο στη διαγώνιο

Re: Μέσο στη διαγώνιο

Re: Μέσο στη διαγώνιο

Re: Μέσο στη διαγώνιο

Μέλη σε σύνδεση