Κι εδώ μέσο χορδής

#1

: κι εδώ μέσο χορδής.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Από τυχαίο σημείο

εκτός κύκλου ${K_1}$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα : $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ καθώς και μια τυχαία τέμνουσα $\overline {SDE}$ του κύκλου.

Από το

φέρνω παράλληλη χορδή

, στην

. Δείξετε ότι η

διέρχεται από το μέσο της χορδής

.

Ιστοσελίδα · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 23, 2021 8:15 pm

Από τυχαίο σημείο εκτός κύκλου ${K_1}$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα : $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ καθώς και μια τυχαία τέμνουσα $\overline {SDE}$ του κύκλου.

Από το φέρνω παράλληλη χορδή , στην . Δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής .

Καλησπέρα Νίκο.

: shape.jpg (30.64 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Έστω $M \equiv SE \cap BT$

Τα σημεία K,A,S,B

είναι ομοκυκλικά ( $\angle A = \angle B = {90^ \circ }$ )

Επίσης τα σημεία B,M,A,S

είναι ομοκυκλικά από τις ίσες πράσινες γωνίες.

Έτσι, $\displaystyle \angle KMS = {180^ \circ } - \angle B = {90^ \circ }$ και από το ισοσκελές $\triangleleft KDE:DM = ME$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Η άσκηση αυτή ήταν το 5ο ζήτημα της 10ης Παναφρικανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας που έγινε στο Cape Town το 2000.

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 23, 2021 8:15 pm
κι εδώ μέσο χορδής.png

Από τυχαίο σημείο εκτός κύκλου ${K_1}$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα : $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ καθώς και μια τυχαία τέμνουσα $\overline {SDE}$ του κύκλου.

Από το φέρνω παράλληλη χορδή , στην . Δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής .

Έστω

το σημείο τομής των SE, BT

και

το κέντρο του κύκλου. Λόγω της παραλληλίας είναι:

: Κι εδώ μέσο.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

$\displaystyle B\widehat MS = B\widehat TA = \frac{{B\widehat KA}}{2} = B\widehat KS,$ άρα το BKMS

είναι εγγράψιμο, δηλαδή $KM\bot SE$ και το ζητούμενο έπεται.

nickchalkida · #5

(Σχεδόν αντιγράφω την πρόταση 10 από το βιβλίο λημμάτων του Αρχιμήδη, παραλείποντας τα προφανή)
Επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, θα είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} \triangle SFB \sim \triangle SBM & \rightarrow {SB \over SF} = {SM \over SB} \cr & \rightarrow SB^2 = SF \cdot SM \cr & \rightarrow SA^2 = SF \cdot SM \cr & \rightarrow {SB \over SF} = {SM \over SB} \cr & \rightarrow {SA \over SF} = {SM \over SA} \rightarrow \triangle SFA \sim \triangle SAM \cr \end{aligned} }$

Τότε οι πορτοκαλί γωνίες είναι ίσες, και επειδή $\angle SAB = \angle SBA$ , πορτοκαλί και πράσινες γωνίες είναι ίσες.
Το τρίγωνο MAT

λοιπόν είναι ισοσκελές, και ως εκ τούτου η κάθετος από το

στην

θα την διχοτομεί,
καθώς και οποιαδήποτε άλλη παράλληλη προς αυτή χορδή του κύκλου όπως η

.

STOPJOHN · #6

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 23, 2021 8:15 pm
κι εδώ μέσο χορδής.png

Από τυχαίο σημείο εκτός κύκλου ${K_1}$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα : $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ καθώς και μια τυχαία τέμνουσα $\overline {SDE}$ του κύκλου.

Από το φέρνω παράλληλη χορδή , στην . Δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής .

Θα αποδειχθεί ότι $OM\perp DE$ δηλαδή ότι το τετράπλευρο SOMA

είναι εγγράψιμο σε

κύκλο .

$AT//DE\Rightarrow \hat{TME}=\hat{ATM}=\omega ,\hat{SBA}=\hat{SAB}=\omega =\hat{SOB}= \hat{SOA}, \hat{JAT}=\hat{SJA}=\phi ,$

Το τετράπλευρο OMAB

είναι εγράψιμο σε κύκλο γιατί

$\hat{AOB}=\hat{BMA}=2\omega$ και

$\hat{OAM}=\phi -\omega =\hat{OBM},\hat{AOM}=90-\phi =\hat{MSA}$

Οποτε το SOMA

είναι εγράψιμο και

$\hat{SMO}=\hat{OAS}=90,DM=ME$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 23, 2021 8:15 pm
κι εδώ μέσο χορδής.png

Από τυχαίο σημείο εκτός κύκλου ${K_1}$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα : $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ καθώς και μια τυχαία τέμνουσα $\overline {SDE}$ του κύκλου.

Από το φέρνω παράλληλη χορδή , στην . Δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής .

Από το ισοσκελές τραπέζιο DATE

έχουμε

.

Προεκτείνουμε την

κατά τμήμα EZ=SD

κι από την ισότητα των τριγώνων

SDA,EZT

παίρνουμε $\angle x= \angle y$ και TZ=SA=SB

Έτσι,η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου και τα ορθογώνια τρίγωνα OBS,OTZ

είναι

ίσα,άρα $\angle BOS= \angle TOZ$ και OS=OZ

Τότε όμως , $\angle BOT= \angle SOZ \Rightarrow \angle TBO= \angle OSZ$ άρα OBSM

εγγράψιμμο,συνεπώς $OM \bot SE \Rightarrow M$ μέσον της

: Μέσον.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

#8

Και οι πέντε (λύσεις) είναι υπέροχες. !

Κι εδώ μέσο χορδής

Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Re: Κι εδώ μέσο χορδής

Μέλη σε σύνδεση