Εφαρμογές παραλληλογράμμων

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Silver
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 12:22 am

Εφαρμογές παραλληλογράμμων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Silver » Σάβ Μάιος 15, 2021 4:41 pm

Έστω τραπέζιο ABCD (AD//BC) με \widehat{A}=\widehat{B}=90^{\circ} και AD<BC, με E να είναι το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών AB και CD. Έστω Z το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία BC και M το μέσο της EZ. Αν η DZ τέμνει την BC στο N και CM κάθετη στην DZ να αποδείξετε ότι ZC κάθετη στην EC.

Υπόδειξη: Να φέρετε την MN.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εφαρμογές παραλληλογράμμων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μάιος 15, 2021 6:07 pm

Silver έγραψε:
Σάβ Μάιος 15, 2021 4:41 pm
Έστω τραπέζιο ABCD (AD//BC) με \widehat{A}=\widehat{B}=90^{\circ} και AD<BC, με E να είναι το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών AB και CD. Έστω Z το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία BC και M το μέσο της EZ. Αν η DZ τέμνει την BC στο N και CM κάθετη στην DZ να αποδείξετε ότι ZC κάθετη στην EC.

Υπόδειξη: Να φέρετε την MN.
Προφανώς το σημείο N είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ZMC,

εφόσον

ZO\perp MC

 ,BC\perp MZ\Rightarrow ML\perp ZC Ακόμη BN//AD,AB=BZ \Rightarrow ND=NZ

Οπότε στο τρίγωνο EDZ,MN//\dfrac{ED}{2}\Rightarrow ML//EC\Rightarrow DC\perp ZC
Συνημμένα
Εφαρμογές παραλληλογράμμων.png
Εφαρμογές παραλληλογράμμων.png (49.01 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Silver
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 12:22 am

Re: Εφαρμογές παραλληλογράμμων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Silver » Σάβ Μάιος 15, 2021 6:17 pm

Ευχαριστώ, πολύ καλή επίλυση, αλλά δεν θεωρείται αρκετά απαιτητική για μαθητές Α' Λυκείου;


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εφαρμογές παραλληλογράμμων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μάιος 15, 2021 6:19 pm

H Απάντηση στο ερώτημα σου είναι πολύ σχετική και εξαρτάται από το επίπεδο Γεωμετρίας του μαθητή


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7984
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εφαρμογές παραλληλογράμμων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 15, 2021 10:34 pm

Silver έγραψε:
Σάβ Μάιος 15, 2021 4:41 pm
Έστω τραπέζιο ABCD (AD//BC) με \widehat{A}=\widehat{B}=90^{\circ} και AD<BC, με E να είναι το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών AB και CD. Έστω Z το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία BC και M το μέσο της EZ. Αν η DZ τέμνει την BC στο N και CM κάθετη στην DZ να αποδείξετε ότι ZC κάθετη στην EC.

Υπόδειξη: Να φέρετε την MN.
Η άσκηση έπρεπε να δοθεί χωρίς καμιά αναφορά σε σημείο N και προφανώς χωρίς υπόδειξη .

Βεβαίως μετά θα μπορούσε να το επιλέξει ο λύτης και ν’ αναφερθεί στο ορθόκεντρο.

Η λύση που ακολουθεί είναι στο ίδιο μήκος κύματος με του Γιάννη αλλά αγνοώ εντελώς το σημείο N.
Εφαρμογές παραλληλογράμμων_oritzin.png
Εφαρμογές παραλληλογράμμων_oritzin.png (16.9 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Έστω S το σημείο τομής των ευθειών AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

Στο \vartriangle AZS η BC είναι παράλληλη στην AS και διέρχεται από το μέσο της AZ, συνεπώς το C είναι μέσο του ZS.

Τώρα στο \vartriangle ZESτο MC ενώνει τα μέσα των ZE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZS οπότε : MC//ES.

Αφού όμως η ZD \bot MC θα είναι και ZD \bot ES. Δηλαδή το D είναι ορθόκεντρο του τριγώνου, ZES και άρα : EC \bot \overline {ZCS} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης