Είναι τετράγωνο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Είναι τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 03, 2021 7:31 pm

Είναι τετράγωνο.png
Είναι τετράγωνο.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές
Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο OAB\,\,\left( {OA = OB} \right).

Στην πλευρά OC θεωρώ τυχαίο σημείο D και στην προς το O προέκταση της BO σημείο A , έτσι ώστε : OD = OA.

Αν K,L,M,N είναι τα μέσα των AB,BC,CD,DA να δείξετε ότι το τετράπλευρο KLMN είναι τετράγωνο.



Λέξεις Κλειδιά:
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1238
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Είναι τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Μάιος 03, 2021 9:21 pm

115.png
115.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Είναι LK=\parallel MN=\parallel \dfrac{CA}{2} και ML=\parallel NK=\parallel \dfrac{BD}{2}.
Από την ισότητα των τριγώνων ODB, OAC έπεται ότι CA=BD.
Οπότε LK=MN=ML=NK\Rightarrow LKNM ρόμβος.
Το σημείο D όμως είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ACB.
Άρα BD\perp CA\Rightarrow BD\perp MN\Rightarrow ML\perp MN.
Συνεπώς το LKNM είναι τετράγωνο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 04, 2021 12:39 am

Doloros έγραψε:
Δευ Μάιος 03, 2021 7:31 pm
Είναι τετράγωνο.png

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο OAB\,\,\left( {OA = OB} \right).

Στην πλευρά OC θεωρώ τυχαίο σημείο D και στην προς το O προέκταση της BO σημείο A , έτσι ώστε : OD = OA.

Αν K,L,M,N είναι τα μέσα των AB,BC,CD,DA να δείξετε ότι το τετράπλευρο KLMN είναι τετράγωνο.
Ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία (δεν είμαι βέβαιος αν είναι γι' αυτή την τάξη, αλλά αφού η λύση είναι απλή, δεν χάνουμε να την δούμε).

Με αρχή των ακόνων το O έχουμε B(b,0), \, C(0,b),\, A(-a,0),\, D(0,a). Έπεται \displaystyle{L\left ( \dfrac  {b}{2} , \dfrac {b}{2} \right ),\, K\left ( \dfrac  {b-a}{2} , 0 \right )  ,\, M \left (0 , \dfrac {a+b}{2} \right ),\, N\left ( \dfrac  {-a}{2} , \dfrac {a}{2} \right )}.

Bλέπουμε τώρα ότι οι κλίσεις των NM, KL είναι \displaystyle{\left \dfrac  {b}{a} }, άρα παράλληλες, και των NK,\, ML είναι \displaystyle{- \dfrac {a}{b} \right )}, άρα παράλληλες και μάλιστα κάθετες στις δύο προηγούμενες. Τέλος βρίσκουμε KL=LM=MN=NK=  \dfrac  {1}{2} \sqrt {a^2+b^2}. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Είναι τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 04, 2021 4:25 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Μάιος 03, 2021 7:31 pm
Είναι τετράγωνο.png

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο OAB\,\,\left( {OA = OB} \right).

Στην πλευρά OC θεωρώ τυχαίο σημείο D και στην προς το O προέκταση της BO σημείο A , έτσι ώστε : OD = OA.

Αν K,L,M,N είναι τα μέσα των AB,BC,CD,DA να δείξετε ότι το τετράπλευρο KLMN είναι τετράγωνο.
Είναι τετράγωνο.png
Είναι τετράγωνο.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
\displaystyle AD||OL,OL \bot BC \Rightarrow BD \bot AC, άρα το D είναι ορθόκεντρο του ABC οπότε τα O, K, L, M, N είναι σημεία

του κύκλου του {\rm{Euler}}. Επομένως το KLMN είναι ορθογώνιο και επειδή ML=LK, θα είναι τετράγωνο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης