Ισότητα γωνιών 55

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών 55.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Προεκτείνουμε την διάμετρο AOB=2r

ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα BS=r

. Συνδέουμε

τυχόν σημείο

του τόξου , με το

και με το μέσο

της ακτίνας

. Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ .

Λύσεις με ανώτερα εργαλεία , καλόν είναι - τουλάχιστον - να μην προηγηθούν .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 7:22 pm
Ισότητα γωνιών 55.pngΠροεκτείνουμε την διάμετρο ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα . Συνδέουμε

τυχόν σημείο του τόξου , με το και με το μέσο της ακτίνας . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ .

Λύσεις με ανώτερα εργαλεία , καλόν είναι - τουλάχιστον - να μην προηγηθούν .

Απο το αντίστροφο θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο TMS

αρκεί να δειχθεί ότι TS=2MT

Θεωρήματα διαμέσων στα τρίγωνα

$OTB,OTS ,2TM^{2}=\dfrac{r^{2}}{2}+TB^{2},(1), TS^{2}=2TB^{2}+r^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow TS^{2}=4TM^{2}\Leftrightarrow TS=2MT$

#3

: ισότητα γωνιών 55_new.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Ας είναι

το μέσο του

. Θα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} BN// = \frac{{OT}}{2} = \frac{r}{2} \hfill \\ MB = \frac{r}{2} \hfill \\ \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα

$\vartriangle TMB = \vartriangle TNB$ και το ζητούμενο φανερό .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 7:22 pm
Ισότητα γωνιών 55.pngΠροεκτείνουμε την διάμετρο ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα . Συνδέουμε

τυχόν σημείο του τόξου , με το και με το μέσο της ακτίνας . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ .

Λύσεις με ανώτερα εργαλεία , καλόν είναι - τουλάχιστον - να μην προηγηθούν .

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

παραλ/μμα

Άρα OB=BS=BC=r

και $SC\bot CO$ ,συνεπώς $SC \bot TB$ κι επειδή

CB=BS=r

,η

είναι μεσοκάθετος της $CS\Rightarrow \phi = \theta$

: Ισότητα γωνιών 55.png (24.45 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

#5

Γενίκευση

: γενίκευσης της ισότητας 55.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Η άσκηση γενικεύεται :

Το

είναι τυχαίο σημείο στην προέκταση της

. Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,FM \bot AB$ . Τα υπόλοιπα τα ίδια .

Η λύση της με πιο «βαριά εργαλεία». Ένα ευχαριστώ στον Θανάση που την έβαλε διασκευασμένη σε φάκελο Α λυκείου,

αλλιώς θα αναζητούσα άλλη λύση .

Πρέπει πριν μερικά έτη να την είχε ανεβάσει πάλι ο Θανάσης

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ σε όλους!

: Ισότητα γωνιών.png (140.1 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Το $N \in ST$ ώστε $MN \parallel AT$ και

η τομή των BT,MN

. Είναι $BT \perp AT$ οπότε και $MN \perp BT$ .

Το

είναι το μέσον της

άρα

. Ακόμη

άρα και

.

Συνεπώς η

είναι η μεσοκάθετος του

και το ζητούμενο έπεται. Φιλικά, Γιώργος.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 7:22 pm
Ισότητα γωνιών 55.pngΠροεκτείνουμε την διάμετρο ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα . Συνδέουμε

τυχόν σημείο του τόξου , με το και με το μέσο της ακτίνας . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ .

Λύσεις με ανώτερα εργαλεία , καλόν είναι - τουλάχιστον - να μην προηγηθούν .

Καλημέρα σε όλους!

Αν

είναι μέσο του

τότε $\displaystyle BN|| = \frac{{OT}}{2} = \frac{R}{2}.$

: Ισότητα γωνιών.55.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Έχουμε λοιπόν $BS=OT=R, BN=OM=\dfrac{R}{2}$ και $T\widehat OM=S\widehat BN,$ οπότε τα τρίγωνα

TOM,SBN

είναι ίσα και $\boxed{O\widehat TM=N\widehat SB}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle O\widehat TB = O\widehat BT \Leftrightarrow O\widehat TM + \varphi = N\widehat SB + \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\varphi=\theta}$

ΥΓ. Η αρχική μου λύση ήταν ίδια με του Γιώργου Μήτσιου.

KARKAR · #8

: Ισότητα γωνιών 55.png (14.34 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Η βασική ιδέα της άσκησης είναι ο Απολλώνιος κύκλος , αφού : $\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}$ .

Η προσαρμογή στην ύλη της Α' Λυκείου , δίνει και την εξής λύση : Αν

το μέσο της

,

τότε : $\phi=\omega$ ( TM, BN

διάμεσοι ισοσκελούς ) και $\omega=\theta$ ( $BN \parallel ST$ ) .

Ισότητα γωνιών 55

Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Re: Ισότητα γωνιών 55

Μέλη σε σύνδεση