Σταθερή γωνία

#1

Σε τρίγωνο ABC

είναι $\widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$ . Στη μεσοκάθετο του

θεωρώ σημείο

με

.

Δείξετε ότι $\widehat {ACD} = 30^\circ$

Φανης Θεοφανιδης · #2

Έστω $P\equiv MD\cap AC$ .
Ακόμη έστω ότι η

τέμνει την από το

παράλληλη προς τη

, στο

.
Φέρνω τα τμήματα NC, ND

.
Είναι $\angle DBP=\theta , \angle PBA=\theta +\omega , \angle CAN=\theta +\omega$ .
Παρατηρώ ότι το τραπέζιο ABCN

είναι εγγράψιμο.
Οπότε ABCN

ισοσκελές τραπέζιο $\Rightarrow NC=AB$ .
Προφανώς $\angle NCA=\theta +\omega \Rightarrow AN=NC$ .
Η

είναι μεσοκάθετος της

, άρα και της

(βασική ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζίου).
Επομένως DN=DA

.
Συνεπώς το τρίγωνο DAN

είναι ισόπλευρο $\Rightarrow \angle DAN=60^{0}$ .
Επειδή το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου DBN

, έπεται
ότι $\angle DBN=\dfrac{\angle DAN}{2}\Rightarrow \theta =30^{0}$ .