Εσωτερικό και εξωτερικό γωνίας

[Al.Koutsouridis]

Έστω και δυο ημιευθείες ενός επιπέδου που δεν έχουν το ίδιο φορέα.

Στο σχολικό μας βιβλίο στην ενότητα 2.12 δίνεται ο ορισμός της κυρτής και μη κυρτής γωνίας που ορίζουν οι παραπάνω ημιευθείες και ύστερα αναφέρεται:

«Τα σημεία μιας γωνίας που δεν ανήκουν στις πλευρές της λέγονται εσωτερικά σημεία της και αποτελούν το εσωτερικό της γωνίας. Τα σημεία που δεν ανήκουν στην γωνία λέγονται εξωτερικά σημεία της και αποτελούν το εξωτερικό της γωνίας»

Στο σημείο αυτό υπονοείται ότι κάθε σημείο του επιπέδου δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα και εσωτερικό και εξωτερικό σημείο μιας γωνίας (για να είναι και «καλός» ο ορισμός μας).

Αποδείξτε το.

eswteriko_exwteriko_gwnias.png (78.18 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

[Al.Koutsouridis]

Στην ουσία της απάντησης αυτού του ερωτήματος βρίσκονται μια σειρά προτάσεων και θεωρημάτων που πρέπει να αποδειχθούν. Δεν είναι εύκολο, η ερώτηση έγινε περισσότερο ως έναυσμα για σκέψη. Μεταφέρω το κομμάτι από το βιβλίο «Αρχές της Γεωμετρίας» του Hilbert όπου ορίζεται η γωνία και παρατίθενται τα βοηθητικά θεωρήματα για την κατανόηση των εννοιών εσωτερικά και εξωτερικά σημεία γωνίας. Θα διατηρήσω τον συμβολισμό του Hilbert. (το σχήμα είναι δικό μου)

eswteriko_exwteriko_gwnias.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Ορισμός. Έστω ένα τυχαίο επίπεδο, και κάποιες δυο διαφορετικές ημιευθείες του, με κοινή αρχή το σημείο και που ανήκουν σε διαφορετικές ευθείες. Το σύστημα δυο τέτοιων ημιευθειών το ονομάζουμε γωνία και το συμβολίζουμε ως εξής: ή . Οι ημιευθείες ονομάζονται πλευρές της γωνίας και το σημείο κορυφή της. Η πλήρης και ευθεία γωνία εξαιρούνται από αυτό τον ορισμό.

Έστω η ημιευθεία ανήκει στην ευθεία και η ημιευθεία στην ευθεία . Οι ημιευθείες διαμερίζουν τα υπόλοιπα σημεία του επιπέδου σε δυο χωρία: το ένα χωρίο το αποτελούν τα σημεία, τα οποία βρίσκονται ως προς την στο ίδιο μέρος με την και ως προς την στο ίδιο μέρος με την , για αυτά λέμε ότι βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας . Για τα υπόλοιπα σημεία, λέμε ότι βρίσκονται εξωτερικά της γωνίας.

Με βάση τα αξιώματα της ομάδας και (τα αξιώματα αυτά υπάρχουν στο παράρτημα του σχολικού βιβλίου) εύκολα αποδεικνύεται, ότι και τα δυο χωρία περιέχουν σημεία και ότι το ευθύγραμμο τμήμα, που ορίζουν δυο εσωτερικά σημεία της γωνίας, εξολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας. Ακριβώς έτσι είναι εύκολο να αποδειχθούν και τα ακόλουθα θεωρήματα:

Το ευθύγραμμο τμήμα , που ενώνει σημείο ανήκων στην με το σημείο ανήκων στην , εξολοκλήρου διέρχεται από το εσωτερικό της γωνίας .

Ημιευθεία με αρχή το σημείο , είτε εξολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , είτε εξολοκλήρου βρίσκεται στο εξωτερικό αυτής της γωνίας.

Ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας τέμνει το τμήμα .

Αν σημείο του ενός χωρίου και του άλλου χωρίου, τότε οποιαδήποτε τεθλασμένη [του επιπέδου της γωνίας], που ενώνει τα σημεία και είτε διέρχεται από το σημείο , είτε έχει με την κοινό σημείο, είτε έχει με την κοινό σημείο.

Αν και σημεία του ίδιου χωρίου, τότε πάντα [στο επίπεδο της γωνίας] υπάρχει τεθλασμένη, που ενώνει το σημείο με το σημείο και δεν διέρχεται ούτε από το σημείο , ούτε από κανένα σημείο της ημιευθείας , ούτε από κανένα σημείο της ημιευθείας .


Ο Hilbert δεν περιέχει τις αποδείξεις των παραπάνω προτάσεων στο βιβλίο του. Αν βρω χρόνο θα τις μεταφέρω σε επόμενη ανάρτηση από μεταφράσεις και σχόλια ή όποιος θέλει να δοκιμάσει μόνος του.