Ισοσκελές και ισόπλευρο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ισοσκελές και ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μαρ 07, 2021 8:11 pm

Χαίρετε!
Ισοσκελές και ισόπλευρο.png
Ισοσκελές και ισόπλευρο.png (80.52 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Στο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της BC.

Αν η AB είναι εκ των τριχοτόμων της \widehat{EAM} τότε: Να υπολογιστεί η \widehat{BAC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοσκελές και ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μαρ 08, 2021 5:39 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:11 pm
Χαίρετε!
Στο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της BC.

Αν η AB είναι εκ των τριχοτόμων της \widehat{EAM} τότε: Να υπολογιστεί η \widehat{BAC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο!
shape.png
shape.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές
Θέτω \angle EAB = \omega

Λόγω της τριχοτόμου AB της \angle EAM θα είναι \angle BAM = 2\omega

Λόγω της διαμέσου - διχοτόμου AM της \angle BAC θα είναι \angle CAM = 2\omega

Έτσι, \omega  + 2\omega  + 2\omega  = {60^ \circ } \Leftrightarrow \omega  = {12^ \circ } και \angle BAC = 4\omega  = {48^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές και ισόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 08, 2021 9:08 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:11 pm
Χαίρετε!
Ισοσκελές και ισόπλευρο.png
Στο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της BC.

Αν η AB είναι εκ των τριχοτόμων της \widehat{EAM} τότε: Να υπολογιστεί η \widehat{BAC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες γιατί είναι οξείες με πλευρές κάθετες. Τις ονομάζω x.
Ι και Ι.png
Ι και Ι.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
E\widehat AM = 30^\circ  + x \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\widehat A}}{4} - 30^\circ \\ 
\\ 
A\widehat CM = 60^\circ  + x \Leftrightarrow 90^\circ  - \dfrac{{\widehat A}}{2} = 60^\circ  + x 
\end{array} \right. \Rightarrow 90^\circ  - \dfrac{{\widehat A}}{2} = 30^\circ  + \dfrac{{3\widehat A}}{4} \Leftrightarrow \boxed{\widehat A=48^\circ}




Η ενδεδειγμένη λύση είναι βέβαια του φίλου Μιχάλη.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισοσκελές και ισόπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 09, 2021 8:08 pm

Καλησπέρα. Μιχάλη και Γιώργο σας ευχαριστώ για την ανταπόκριση!

Ας αναφέρουμε και την περίπτωση που η AB είναι η ετέρα των τριχοτόμων της \widehat{EAM}
( η κοντινή στην AM , που ...θέλει άλλο σχήμα) και δίνει \widehat{BAC}=30^o .

Στην συνέχεια ας αντιμετωπίσουμε ακόμη ένα ζητούμενο:
Ισσοσκελές κι' ισόπλευρο ΙΙ.png
Ισσοσκελές κι' ισόπλευρο ΙΙ.png (109.16 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές


Στο νέο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της  BC.

Η \widehat{BAC} είναι μεταβλητού μέτρου και το O \in AM ώστε  OA=BE .

Να εξεταστεί αν η \widehat{MOB}=\theta είναι σταθερού μέτρου. Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές και ισόπλευρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 09, 2021 10:38 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 8:08 pm
Καλησπέρα. Μιχάλη και Γιώργο σας ευχαριστώ για την ανταπόκριση!

Ας αναφέρουμε και την περίπτωση που η AB είναι η ετέρα των τριχοτόμων της \widehat{EAM}
( η κοντινή στην AM , που ...θέλει άλλο σχήμα) και δίνει \widehat{BAC}=30^o .

Στην συνέχεια ας αντιμετωπίσουμε ακόμη ένα ζητούμενο:
Ισοσκελές κι' ισόπλευρο ΙΙ.png

Στο νέο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της  BC.

Η \widehat{BAC} είναι μεταβλητού μέτρου και το O \in AM ώστε  OA=BE .

Να εξεταστεί αν η \widehat{MOB}=\theta είναι σταθερού μέτρου. Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Ισοσκελές κι ισόπλευρο νεο.png
Ισοσκελές κι ισόπλευρο νεο.png (36.79 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
Ας είναι S το σημείο τομής των EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM και N το μέσο του EB.

Η γωνία \widehat {NES} = 30^\circ πάντα γιατί είναι το μισό της \widehat {EAC}, συνεπώς \widehat {{S_{}}} = 60^\circ και άρα

Τα σημεία A,E,S,C ανήκουν στον ίδιο κύκλο με άμεση συνέπεια : \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} .

\vartriangle EBC = \vartriangle AOC \Rightarrow \boxed{BC = OC}. Όμως OC = OB αφού η OM μεσοκάθετος στο BC.

Το \vartriangle OBC είναι ισόπλευρο και άρα \boxed{\widehat {{x_{}}} = 30^\circ }.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελές και ισόπλευρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 09, 2021 11:40 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 8:08 pm
Καλησπέρα. Μιχάλη και Γιώργο σας ευχαριστώ για την ανταπόκριση!

Ας αναφέρουμε και την περίπτωση που η AB είναι η ετέρα των τριχοτόμων της \widehat{EAM}
( η κοντινή στην AM , που ...θέλει άλλο σχήμα) και δίνει \widehat{BAC}=30^o .

Στην συνέχεια ας αντιμετωπίσουμε ακόμη ένα ζητούμενο:
Ισοσκελές κι' ισόπλευρο ΙΙ.png

Στο νέο σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ενώ το ACE είναι ισόπλευρο και M το μέσον της  BC.

Η \widehat{BAC} είναι μεταβλητού μέτρου και το O \in AM ώστε  OA=BE .

Να εξεταστεί αν η \widehat{MOB}=\theta είναι σταθερού μέτρου. Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Έστω ο κύκλος (A,b) .Τότε  \angle  \phi = \angle  \dfrac{A}{2}= \angle  \theta (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)

και προφανώς  \triangle ABO= \triangle EBC .Άρα OB=BC και  \triangle BOC ισόπλευρο,συνεπώς  \angle BOM=30^0
ισοσκελές-ισόπλευρο.png
ισοσκελές-ισόπλευρο.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης