Ισότητα γωνιών.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 77.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου

. Με κέντρο το

γράφεται δεύτερος κύκλος
που τέμνει τον πρώτο στα

και

. Τυχαία ευθεία από το

τέμνει τον
πρώτο κύκλο στο

και τον δεύτερο στο

. Δείξτε ότι $\angle CBD=\angle ACD$ .

Manolis Petrakis · #2

Καλησπέρα!
Είναι: $\angle KAL=\angle KBL=90^{\circ}\Rightarrow AL,BL$ : εφαπτομένες του (K,KA)

Άρα $\angle DBC=\angle DBA + \angle ABC=\angle DLA+\angle CAL=\angle ACD$

#3

Με πρόλαβε ο Manolis. Αφήνω το σχήμα.

: ΙΣ.Γ.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

#4

: Ισότητα γωνιών_Φάνης_oritzin_2.png (23.92 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής της

με τον πρώτο κύκλο . Τότε AC//SL

(λήμμα) και άρα $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{L_{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ .

Λήμμα :

: Ισότητα γωνιών_Φάνης_Λήμμα.png (25.85 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Έστω δύο κύκλοι $\left( K \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {\rm O} \right)$ πού τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ . Από τυχαίο σημείο

του $\left( O \right)$ φέρνω την

που τέμνει τον $\left( K \right)$ στο

.

Τότε $SF = SB\,\,$

Πράγματι από το εγγράψιμο τετράπλευρο AKBS

έχω, $\widehat {{B_{}}} = \widehat {FAK} = \widehat {AFK}$ επίσης δε

η

διχοτομεί την $\widehat {FSB}$ άρα τα τρίγωνα $KSF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KSB$ είναι ίσα οπότε :

$SF = SB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS \bot FB\,\,,\,\,KS \bot AC$

#5

Και μια παρεμφερή με την προηγούμενη.

: Ισότητα γωνιών_Φάνης_oritzin.png (26.32 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής της προέκτασης της

με το κύκλο κέντρου

.

Η

διχοτομεί την $\widehat {ADB}$ και αφού $KD \bot DC$ , η

είναι κι αυτή διχοτόμος της $\widehat {EDB}$ .

Αβίαστα τώρα προκύπτει ότι : $DE = DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC//EB$ ( κάθετες στην ευθεία

)

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο AEBC

, η $\displaystyle \widehat {{A_{}}}$ είναι παραπληρωματική της $\widehat {CBE}$

Άρα ίση με την $\widehat {{\xi _{}}}$ . Μα τότε τα τρίγωνα $ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CDB$ έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι ισογώνια , συνεπώς $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}}$

Ισότητα γωνιών.

Ισότητα γωνιών.

Re: Ισότητα γωνιών.

Re: Ισότητα γωνιών.

Re: Ισότητα γωνιών.

Re: Ισότητα γωνιών.

Μέλη σε σύνδεση