Ισότητα γωνιών 53

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών 53.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς

του παραλληλογράμμου ABCD

.

Φέρω $CS \perp DM$ . Δείξτε ότι : $\widehat{ADM}=\widehat{MSB}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς του παραλληλογράμμου .

Φέρω $CS \perp DM$ . Δείξτε ότι : $\widehat{ADM}=\widehat{MSB}$ .

Είναι

παραλ/μμο $\Rightarrow AD=BN=BC=SB \Rightarrow \angle \theta = \angle \phi$

: Ισότητα γωνιών 53.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Manolis Petrakis · #3

Φέρνουμε παράλληλη στην

από το

που τέμνει τις

,

στα

αντίστοιχα. Αλλά DMBT

: παραλληλόγραμμο έτσι AM=MB=DT=TC

και από Θ.Θαλή στο DCS

παίρνουμε: $\frac{1}{2}=\frac{TC}{DC}=\frac{CP}{SC}$
Έτσι:

: μέσο

και $BP\perp SC$
Άρα BSC

ορθογώνιο $\Rightarrow \widehat{SBP}=\widehat{CBP} (1)$
$\widehat{SBP}= \theta (2)$ από την παραλληλία των DM,TB

$TB=DM,BC=AD,TC=AM\Rightarrow TBC=ADM\Rightarrow \widehat{TBC}=\phi (3)$
Από τις (1),(2),(3)

έχουμε: $\phi=\theta$

: 20201028_211002.jpg (36.96 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς του παραλληλογράμμου .

Φέρω $CS \perp DM$ . Δείξτε ότι : $\widehat{ADM}=\widehat{MSB}$ .

Είναι

,και

παραλληλόγραμμο, SM=NC,SN=MC

Οπότε το

είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα $KS=SM,\hat{\theta }=\hat{SMK}=\hat{\phi }$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς του παραλληλογράμμου .

Φέρω $CS \perp DM$ . Δείξτε ότι : $\widehat{ADM}=\widehat{MSB}$ .

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

και

το μέσο του DC.

: Ισότητα γωνιών.53.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

To

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε $A\widehat PD=\varphi$ και SN=NS, BN||DM,

άρα

η

είναι μεσοκάθετος του SC.

Επομένως, $\displaystyle SB = BC \Leftrightarrow AP = AD \Leftrightarrow$ $\boxed{\varphi = \theta }$

nickchalkida · #6

Προκύπτουν εύκολα από το σχήμα ...
(Συγνώμη δεν πρόσεξα ότι η λύση μου, είναι αυτή που έδωσε πρωτύτερα ο Μιχάλης)

#7

Θεωρώ σημείο

για το οποίο , ST// = DA

. Άμεσες συνέπειες:

Τα τετράπλευρα $ATSD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,STBC$ είναι παραλληλόγραμμα . Έτσι $\boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}\,\,\left( 1 \right)\,\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SM \bot TB$ .

Επειδή όμως στο $\vartriangle BAT$ , το

μέσο της

και

, αυτή , η

, θα διέρχεται από το μέσο

του

.

: γωνιές 53_2 λύση.png (24.27 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Συνεπώς στο $\vartriangle STB$ , η

είναι ύψος και διάμεσος άρα θα είναι ισοσκελές , άρα

το

είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του στο

, οπότε: $\boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\phi _{}}}\,\,\left( 2 \right)\,\,}\,$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ αφού έχουν πρώτα μέλη ίσα θα έχουν και τα δεύτερα , δηλαδή το ζητούμενο.

Ισότητα γωνιών 53

Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Re: Ισότητα γωνιών 53

Μέλη σε σύνδεση