Ισότητα γωνιών 53

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα γωνιών 53

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm

Ισότητα  γωνιών 53.png
Ισότητα γωνιών 53.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB του παραλληλογράμμου ABCD .

Φέρω CS \perp DM . Δείξτε ότι : \widehat{ADM}=\widehat{MSB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1950
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα γωνιών 53

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 28, 2020 8:45 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς AB του παραλληλογράμμου ABCD .

Φέρω CS \perp DM . Δείξτε ότι : \widehat{ADM}=\widehat{MSB} .
Είναι DANB παραλ/μμο   \Rightarrow AD=BN=BC=SB \Rightarrow  \angle  \theta = \angle  \phi
Ισότητα γωνιών 53.png
Ισότητα γωνιών 53.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ισότητα γωνιών 53

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Οκτ 28, 2020 9:11 pm

Φέρνουμε παράλληλη στην MD από το B που τέμνει τις SC,DC στα P,T αντίστοιχα. Αλλά DMBT: παραλληλόγραμμο έτσι AM=MB=DT=TC και από Θ.Θαλή στο DCS παίρνουμε: \frac{1}{2}=\frac{TC}{DC}=\frac{CP}{SC}
Έτσι: P: μέσο SC και BP\perp SC
Άρα BSC ορθογώνιο \Rightarrow \widehat{SBP}=\widehat{CBP} (1)
\widehat{SBP}= \theta (2) από την παραλληλία των DM,TB
TB=DM,BC=AD,TC=AM\Rightarrow TBC=ADM\Rightarrow \widehat{TBC}=\phi (3)
Από τις (1),(2),(3) έχουμε: \phi=\theta
20201028_211002.jpg
20201028_211002.jpg (36.96 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1988
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισότητα γωνιών 53

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 29, 2020 8:50 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς AB του παραλληλογράμμου ABCD .

Φέρω CS \perp DM . Δείξτε ότι : \widehat{ADM}=\widehat{MSB} .
Είναι MB=MC=AN=ND=SN=a,,και AMCN παραλληλόγραμμο,SM=NC,SN=MC


Οπότε το SMCN είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα KS=SM,\hat{\theta }=\hat{SMK}=\hat{\phi }
Συνημμένα
Ισότητα γωνιών 53.png
Ισότητα γωνιών 53.png (36.88 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10036
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα γωνιών 53

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 29, 2020 10:48 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 8:24 pm
Ισότητα γωνιών 53.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς AB του παραλληλογράμμου ABCD .

Φέρω CS \perp DM . Δείξτε ότι : \widehat{ADM}=\widehat{MSB} .
Έστω P το συμμετρικό του S ως προς M και N το μέσο του DC.
Ισότητα γωνιών.53.png
Ισότητα γωνιών.53.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
To ASBP είναι παραλληλόγραμμο, οπότε A\widehat PD=\varphi και SN=NS, BN||DM, άρα

η BN είναι μεσοκάθετος του SC. Επομένως, \displaystyle SB = BC \Leftrightarrow AP = AD \Leftrightarrow \boxed{\varphi  = \theta }


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα γωνιών 53

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 29, 2020 1:57 pm

Προκύπτουν εύκολα από το σχήμα ...
(Συγνώμη δεν πρόσεξα ότι η λύση μου, είναι αυτή που έδωσε πρωτύτερα ο Μιχάλης)
Συνημμένα
gonia53.png
gonia53.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7704
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα γωνιών 53

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 30, 2020 1:32 am

Θεωρώ σημείο T για το οποίο , ST// = DA. Άμεσες συνέπειες:

Τα τετράπλευρα ATSD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,STBC είναι παραλληλόγραμμα . Έτσι \boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}\,\,\left( 1 \right)\,\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SM \bot TB.

Επειδή όμως στο \vartriangle BAT, το M μέσο της AB και SM//AT , αυτή , η SM, θα διέρχεται από το μέσο N του TB.
γωνιές 53_2 λύση.png
γωνιές 53_2 λύση.png (24.27 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Συνεπώς στο \vartriangle STB, η SM είναι ύψος και διάμεσος άρα θα είναι ισοσκελές , άρα

το SN είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του στο S, οπότε: \boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\phi _{}}}\,\,\left( 2 \right)\,\,}\,

Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) αφού έχουν πρώτα μέλη ίσα θα έχουν και τα δεύτερα , δηλαδή το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης