Αθροίσματα γωνιών

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11772
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αθροίσματα γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 15, 2020 7:43 pm

Αθροίσματα  γωνιών.png
Αθροίσματα γωνιών.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο , το S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC και το E

το έγκεντρο του τριγώνου SBC . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : \phi+\omega  , \phi+\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7438
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αθροίσματα γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 15, 2020 8:17 pm

Αθροίσματα γωνιών.png
Αθροίσματα γωνιών.png (26.9 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
\widehat {SEB} = 90^\circ  + 30^\circ  = 120^\circ , άρα το τετράπλευρο, ABES, είναι εγγράψιμο οπότε :

α) \omega  + \phi  = 180^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\omega  = {\omega _1}

β) \theta  = 60^\circ  + {\theta _1} = 90^\circ  + \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\phi  = 180^\circ  - \omega άρα : \phi  + \theta  = 270^\circ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αθροίσματα γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 16, 2020 10:42 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 15, 2020 7:43 pm
Αθροίσματα γωνιών.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο , το S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC και το E

το έγκεντρο του τριγώνου SBC . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : \phi+\omega  , \phi+\theta .
Αθροίσματα γωνιών.png
Αθροίσματα γωνιών.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
α) \displaystyle \varphi  + \omega  = A\widehat SB + B\widehat SE + A\widehat BS + S\widehat BE = 60^\circ  + S\widehat BC + B\widehat SE + A\widehat BS + S\widehat BE =

\displaystyle 60^\circ  + (S\widehat BC + A\widehat BS) + (B\widehat SE + S\widehat BE) = 60^\circ  + 60^\circ  + 60^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\varphi  + \omega  = 180^\circ }

β) \displaystyle \varphi  + \theta  = \left( {180^\circ  - \frac{{B\widehat SC}}{2}} \right) + \left( {90^\circ  + \frac{{B\widehat SC}}{2}} \right) \Leftrightarrow \boxed{\varphi  + \theta  = 270^\circ }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7438
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αθροίσματα γωνιών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 16, 2020 12:11 pm

Για λόγους πλουραλισμού ( Όπως θα έλεγε ο φίλτατος Σωτήρης )

Θεωρώ τον κύκλο , \left( {S,E,C} \right) και έστω D το άλλο σημείο τομής της ευθείας BE μ αυτόν.

α) το τετράπλευρο : ABES είναι εγγράψιμο γιατί

η\widehat {SEB} = 90^\circ  + \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = 120^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{A_{}}} = 60^\circ με άμεσες συνέπειες:

\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {DES} = \widehat {{A_{}}} = 60^\circ  \Rightarrow \boxed{SE \bot SD}.
Αθροίσματα γωνιών_new.png
Αθροίσματα γωνιών_new.png (30.84 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
α) \boxed{\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ }

β) \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} ως παραπληρώματα των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών του εγγραψίμου

τετράπλευρου SECD στο τόξο χορδής CD.

Έτσι το άθροισμα, \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {DSE} (μη κυρτή )

Δηλαδή: \boxed{\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 360^\circ  - 90^\circ  = 270^\circ }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αθροίσματα γωνιών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Οκτ 17, 2020 4:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 15, 2020 7:43 pm
Αθροίσματα γωνιών.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο , το S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC και το E

το έγκεντρο του τριγώνου SBC . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : \phi+\omega  , \phi+\theta .
Επειδή CE μεσοκάθετος της AB ,οι γωνίες xείναι ίσες,άρα ASEB εγγράψιμο

Η ZE είναι διάμετρος του κύκλου (A,S,E,B) και προφανώς όλες οι μπλε γωνίες είναι \omega

Έτσι, \angle  \phi + \omega =180^0 και \angle  \phi + \theta =180^0- \omega +90^0+ \omega =270^0
Άθροισμα γωνιών.png
Άθροισμα γωνιών.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες