Σχετική θέση δυο κύκλων

Al.Koutsouridis · #1

Στο σχολικό βιβλίο της γεωμετρίας της Α' Λυκείου, στο κεφάλαιο "Σχετικές θέσεις δυο κύκλων" αναφέρει:

$\bullet$ Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι (K, R)

και $(\Lambda, \rho)$ τέμνονται, δηλαδή έχουν δυο κοινά σημεία, αν και μόνο αν $R-\rho < \delta < R+\rho$ . ( $K\Lambda =\delta$ )

Τι θα λέγαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί;

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 15, 2020 10:30 am
Στο σχολικό βιβλίο της γεωμετρίας της Α' Λυκείου, στο κεφάλαιο "Σχετικές θέσεις δυο κύκλων" αναφέρει:

$\bullet$ Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι και $(\Lambda, \rho)$ τέμνονται, δηλαδή έχουν δυο κοινά σημεία, αν και μόνο αν $R-\rho < \delta < R+\rho$ . ( $K\Lambda =\delta$ )

Τι θα λέγαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί;

Από τη σχέση που δίνεται (τριγωνική ανισότητα), υπάρχουν δύο σημεία A, B

ώστε για τα τρίγωνα $\displaystyle {\rm A}{\rm K}\Lambda ,{\rm B}{\rm K}\Lambda$ να είναι

$\displaystyle {\rm A}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} = R$ και $\displaystyle {\rm A}\Lambda = {\rm B}\Lambda = \rho .$ Τα σημεία A, B

ανήκουν προφανώς στους δύο κύκλους και το ζητούμενο έπεται.

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 15, 2020 11:02 am

Από τη σχέση που δίνεται (τριγωνική ανισότητα), υπάρχουν δύο σημεία ώστε για τα τρίγωνα $\displaystyle {\rm A}{\rm K}\Lambda ,{\rm B}{\rm K}\Lambda$ να είναι

$\displaystyle {\rm A}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} = R$ και $\displaystyle {\rm A}\Lambda = {\rm B}\Lambda = \rho .$ Τα σημεία ανήκουν προφανώς στους δύο κύκλους και το ζητούμενο έπεται.

Η τριγωνική ανισότητα διατυπώνεται σε προηγούμενη ενότητα μόνο στο ευθύ της, αν δεν κάνω λάθος. Δηλαδή σε ένα τρίγωνο ισχύει, αλλά αν ισχύει για κάποια τμήματα, τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές αυτά τα τμήματα δεν διατυπώνεται κάπου. Η δε κατασκευή γίνεται σε παρακάτω ενότητα χρησιμοποιώντας τους τεμνόμενους κύκλους.

#4

Το ερώτημα που θέτει ο Αλέξανδρος Κουτσουρίδης, μέσω ενός "ανήσυχου μαθητή", είναι πάρα πολύ ενδιαφέρον (η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο θα ήταν ίσως σε πιο αξιοπρεπές επίπεδο αν υπήρχαν περισσότεροι νέοι μαθηματικοί με παρόμοιες ανησυχίες …).
Η πλήρης διαπραγμάτευση του ικανού της συνθήκης $R-\rho <\delta <R+\rho$ (1)

για την ύπαρξη σημείου τομής των δύο κύκλων υπερβαίνει τα όρια ενός μηνύματος. Ελπίζω όμως ότι τα παρακάτω στοιχεία θα ανοίξουν την όρεξη των φιλομαθών για περισσότερη μελέτη και εμβάθυνση.
Το Πρόγραμμα Σπουδών (Φ.Ε.Κ. Β΄ 1342, 30-6-1999) σύμφωνα με το οποίο έγινε η συγγραφή του σχολικού βιβλίου Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αναφέρει στην ενότητα "Σχετικές θέσεις δύο κύκλων" ότι: "Οι σχέσεις μεταξύ της διακέντρου και των ακτίνων δύο κύκλων θα διαπιστωθούν εποπτικά". Υποθέτω ότι οι συντάκτες του Π.Σ. ακολούθησαν εδώ ευλαβικά τον Ευκλείδη. Ο συγγραφέας των Στοιχείων το 300 π.Χ. φαίνεται να μην έχει καμία αμφιβολία ότι οι δύο κύκλοι που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή ενός τριγώνου, με πλευρές τρία ευθύγραμμα τμήματα που ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα, θα τέμνονται οπωσδήποτε. Το αξιοπερίεργο είναι ότι στην ανανεωμένη έκδοση του Προγράμματος Σπουδών που δημοσιεύτηκε το 2011 (Φ.Ε.Κ. Β΄ 1168, 8-6-2011) αναφέρεται ότι "Οι μαθητές προσδιορίζουν και αιτιολογούν τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων". Επειδή όμως οι συντάκτες του νέου προγράμματος δεν διευκρινίζουν τη σημασία του ρήματος "αιτιολογώ", υποθέτω ότι και αυτοί εννοούν "εποπτική διαπίστωση", ίσως τώρα ενισχυμένη με τη χρήση κάποιου λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.
Η απαίτηση ότι η (1), ως ικανή συνθήκη για την ύπαρξη σημείου τομής δύο κύκλων, χρειάζεται απόδειξη τέθηκε ήδη από τους αρχαίους σχολιαστές του Ευκλείδη. Οι απόπειρες όμως που έγιναν με απαγωγή σε άτοπο (αν υποτεθεί ότι οι κύκλοι εφάπτονται ή ότι δεν τέμνονται) ήταν ελλιπείς επειδή δεν μπορούσαν να εξαντλήσουν όλες τις περιπτώσεις. Διάφορες αυστηρές αποδείξεις (δηλαδή χωρίς αναφορά στην εποπτεία) δόθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα στο πλαίσιο της αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αυτές όμως απαιτούν την εισαγωγή επιπλέον ή εντελώς νέων αξιωμάτων, την απόδειξη λημμάτων και είναι μακροσκελείς.
Η διαπραγμάτευση του ζητήματος στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν ήταν ποτέ εύκολη υπόθεση, ακόμη και τις περιόδους της μεγάλης ακμής του μαθήματος. Θα αναφέρω μόνο τον τρόπο που γίνεται σε δύο εμβληματικά έργα της ελληνικής βιβλιογραφίας, το Επιπεδομετρία – Αποδεικτικαί Προτάσεις (Τεύχος 1) των Γεωργίου Τσίντσιφα, Στέφανου Μπαλλή & Ιωάννη Ζουρνά (1972) και το Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος του Σπύρου Κανέλλου (1970).
Στο πρώτο η απόδειξη δίνεται σε Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου "…δι’ αυτούς τους μαθητάς που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά …", με βάση το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert και αφού προηγηθεί η απόδειξη τριών λημμάτων. Η παρουσίαση ολοκληρώνεται βέβαια με την παρατήρηση ότι "Το ανωτέρω θεώρημα αποδεικνύει την ύπαρξιν τριγώνου με πλευράς τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ εκ της σχέσεως $|\beta -\gamma |<\alpha <\beta +\gamma$ ". Στο δεύτερο βιβλίο, που χρησιμοποιεί μια παραλλαγή του συστήματος αξιωμάτων του Hilbert, αποδεικνύεται πρώτα η ύπαρξη τριγώνου με πλευρές τρία τμήματα όταν το καθένα είναι μικρότερο από το άθροισμα των δύο άλλων, οπότε το ικανό της (1) για την τομή δύο κύκλων έπεται άμεσα. Η απόδειξη όμως της ύπαρξης του τριγώνου είναι μακροσκελής δεδομένου ότι στηρίζεται επίσης σε τρία λήμματα.
Τι θα λέγαμε, λοιπόν, σ’ έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί; Αυτό είναι ένα δύσκολο ερώτημα εφαρμοσμένης διδακτικής των Μαθηματικών για το οποίο, όπως θα έλεγε και ο Ευκλείδης, δεν υπάρχει "βασιλική οδός".

Γιάννης Θωμαΐδης

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Διδάσκοντας το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου από το τρέχον διδακτικό βιβλίο αντιμετώπιζα το ίδιο ακριβώς πρόβλημα...
Πώς πείθεις έναν ανήσυχο μαθητή για την ισοδυναμία...
Το βιβλίο δεν είναι διαφωτιστικό...
Κατά την περίοδο 1982-1983 ο ανήσυχος μαθητής που αναφέρει ο Αλέξανδρος ήμουν εγώ. Με μοναδικό εφόδιο το τότε διδακτικό βιβλίο των Δημήτρη Παπαμιχαήλ και Αναστασίου Σκιαδά , προσπαθούσα να καταλάβω όσο γινόταν πιο πολλά...
Μερικές φορές αφιέρωνα ώρες στην μελέτη μιας απόδειξης...
Το βιβλίο αυτό στις σελίδες 123,124 έχει μια απόδειξη της ισοδυναμίας για την οποία συζητάμε. Σας παρακαλώ, δείτε την...
Στο τελικό κομμάτι της απόδειξης που μας απασχολεί επικαλείται ένα αξίωμα, αυτό όμως δεν εμπόδισε το εφηβικό μου μυαλό να την αποδεχθεί.

Γιάννη, εσύ σίγουρα έχεις διδάξει από αυτό το βιβλίο...

Αλέξανδρε, να 'ξερες πόσο πίσω με πήγες...
Τότε που προσπαθούσα να ξεκλειδώσω τα μυστικά της Γεωμετρίας, τότε που νόμιζα ότι σε δύο χρόνια θα μάθω όλη την Επιπεδομετρία - πόσο λάθος έκανα - και τότε που πίστευα ότι στην ζωή μου θα έχω χρόνο για να εμβαθύνω σε όποιο μαθηματικό θέμα διαλέξω...

Al.Koutsouridis · #6

Να ευχαριστήσω τους κ. Γιάννη και Τηλέμαχο για τις παρεμβάσεις τους.

Απάντηση δεν έχω αλλά μπορεί να δημιουργηθεί μια εποικοδομητική συζήτηση στην τάξη ή εκτός.

Αφορμή για την δημοσίευση στάθηκε το ξεφύλλισμα στο περιοδικό τα Μαθηματικά στο σχολείο και τα σχολικά βιβλία της Ρωσίας που έκανα για να βρω κάποια ενδιαφέροντα προβλήματα για να μοιραστώ.

Στο σχολικό βιβλίο του Πογκορέλοβ (Γεωμετρία για τις τάξεις 7-11) στο κεφάλαιο του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχει τις εξής αφύσικες ασκήσεις προς λύση:

40. Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c

, που ικανοποιούν τις συνθήκες $c \leq b \leq a < b+c$ . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ .

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD

το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b

και κάθετη πλευρά $CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο ABC

, στο οποίο AC=b

,

και η απόσταση

είναι ίση με $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ , θα έχει πλευρά AB=c

(βλ. σχήμα).

: Υπάρξεις.png (5.47 KiB) Προβλήθηκε 3926 φορές

41. Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c

. Να αποδείξετε ότι, αν ο καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερος από το άθροισμα των άλλων δυο, τότε θα υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών a,b,c

.

Το βιβλίο δεν έχει τις λύσεις, ούτε υπόδειξη για να δει κανείς ποια λύση είχε υπόψη ο συγγραφέας. Το βιβλίο αυτό στηρίζεται σε λίγο διαφορετικά αξιώματα από του Ευκλείδη, που προσπαθεί να ακολουθήσει το ελληνικό σχολικό βιβλίο και είναι δύσκολη η αντιστοίχηση ύλης/λύσεων.

Έτσι αναρωτήθηκα αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παραπάνω άσκηση στα πλαίσια του δικού μας βιβλίου ώστε να αποδειχθεί το αντίστροφο της τριγωνικής ανισότητας.

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 17, 2020 11:11 am

Η διαπραγμάτευση του ζητήματος στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν ήταν ποτέ εύκολη υπόθεση, ακόμη και τις περιόδους της μεγάλης ακμής του μαθήματος. Θα αναφέρω μόνο τον τρόπο που γίνεται σε δύο εμβληματικά έργα της ελληνικής βιβλιογραφίας, το Επιπεδομετρία – Αποδεικτικαί Προτάσεις (Τεύχος 1) των Γεωργίου Τσίντσιφα, Στέφανου Μπαλλή & Ιωάννη Ζουρνά (1972) και το Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος του Σπύρου Κανέλλου (1970).
Στο πρώτο η απόδειξη δίνεται σε Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου "…δι’ αυτούς τους μαθητάς που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά …",

Εξαιρετικά βιβλία, δυστυχώς δεν τα είχα υπόψη μου όταν ήμουν μαθητής. Ίσως θα ήταν καλό να επανεκδοθούν στην δημοτική, ακριβώς για τους μαθητές που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά. Όχι ότι είναι μη κατανοητή η γλώσσα τους, αλλά καμιά φορά το μέσο αγιάζει το σκοπό.

#7

Το σύστημα αξιωμάτων του Pogorelov που αναφέρει ο Αλέξανδρος έχει χρησιμοποιηθεί για τη θεμελίωση της σχολικής γεωμετρίας και στην Ελλάδα, συγκεκριμένα στο βιβλίο “Θεωρητική Γεωμετρία Α΄ Ενιαίου Λυκείου” των Α. Αλιμπινήση, Γ. Δημάκου, Θ. Εξαρχάκου, Δ. Κοντογιάννη & Γ. Τασσόπουλου (που διδάχθηκε στα σχολεία την περίοδο 1990-1998).
Στο σύστημα αυτό εισάγονται εξαρχής δύο αξιώματα που εξασφαλίζουν τη δυνατότητα μέτρησης ευθυγράμμων τμημάτων και γωνιών, γεγονός που επιτρέπει μια πιο “ευέλικτη” θεμελίωση αλλά και μια ριζική ανατροπή της διάταξης των προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (η οποία είχε παραμείνει ουσιαστικά αμετάβλητη από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι και τον Hilbert).
Χαρακτηριστικό δείγμα αυτής της ανατροπής είναι ότι στο παραπάνω βιβλίο η έννοια του κύκλου εισάγεται στο τελευταίο κεφάλαιο, μετά το θεώρημα του Θαλή, τα όμοια πολύγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Ένα αποτέλεσμα της νέας τάξης των πραγμάτων είναι και οι ασκήσεις του ρωσικού σχολικού βιβλίου που παραθέτει ο Αλέξανδρος και, πολύ ορθά, τις χαρακτηρίζει ως “αφύσικες”. Οι ασκήσεις αυτές έχουν ενσωματωθεί στην απόδειξη της ακόλουθης, βασικής “υπαρξιακής” πρότασης που εμφανίζεται στο Παράρτημα του ελληνικού βιβλίου με την εξής διατύπωση (βλ. σ.164 της έκδοσης του 1998):
“Αν $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι τρία ευθύγραμμα τμήματα με $\gamma < \beta < \alpha < \beta +\gamma,$ τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ ”. Στην απόδειξη της πρότασης χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα και μια γερή δόση αλγεβρικού λογισμού.
Με αυτό το “τρυκ”, η ζόρικη απόδειξη της ικανής συνθήκης $R-\rho < \delta <R+\varrho$ για την ύπαρξη σημείου τομής δύο κύκλων (Θεώρημα ΙΙ, σ.121 του βιβλίου), ανάγεται ουσιαστικά σε μια υποσημείωση που παραπέμπει στην πρόταση του Παραρτήματος (η οποία εξασφαλίζει την ύπαρξη τριγώνου με πλευρές το διακεντρικό τμήμα $\delta$ και τις ακτίνες

και $\rho$ ).
Όπως γίνεται φανερό, το σύστημα αξιωμάτων του Pogorelov επιτρέπει μια “ταχεία” απόδειξη της ικανής συνθήκης τομής δύο κύκλων (σε σχέση με αυτήν που υπάρχει π.χ. στο βιβλίο του Κανέλλου), αλλά με τίμημα μια πρόωρη και έντονη “αλγεβροποίηση” μεγάλων τμημάτων της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οπότε οδηγούμαστε στο εύλογο ερώτημα:
Μήπως, εδώ που φτάσαμε, είναι προτιμότερο να αναγάγουμε το γεωμετρικό πρόβλημα της συνθήκης τομής δύο κύκλων, στο αλγεβρικό πρόβλημα της συνθήκης επίλυσης του συστήματος των αντίστοιχων εξισώσεων; Το μόνο άλλωστε που χρειάζεται είναι ο τύπος της Ευκλείδειας απόστασης δύο σημείων (που υπάρχει στο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου) και η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Με τον τρόπο αυτό θα απαλλαγούμε και από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα!
(Καλούνται οι δεινοί γεωμέτρες του mathematica αλλά και οι γνωστοί “αντιφρονούντες” να λάβουν θέση).

Γιάννης Θωμαΐδης

#8

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 24, 2020 8:20 pm

Μήπως, εδώ που φτάσαμε, είναι προτιμότερο να αναγάγουμε το γεωμετρικό πρόβλημα της συνθήκης τομής δύο κύκλων, στο αλγεβρικό πρόβλημα της συνθήκης επίλυσης του συστήματος των αντίστοιχων εξισώσεων; Το μόνο άλλωστε που χρειάζεται είναι ο τύπος της Ευκλείδειας απόστασης δύο σημείων (που υπάρχει στο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου) και η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Με τον τρόπο αυτό θα απαλλαγούμε και από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα!
(Καλούνται οι δεινοί γεωμέτρες του mathematica αλλά και οι γνωστοί “αντιφρονούντες” να λάβουν θέση).

Γιάννης Θωμαΐδης

Καλησπέρα σε όλους. Υποθέτω ότι ο Γιάννης εννοεί μια τέτοια αντιμετώπιση:

Έστω οι κύκλοι (K, R), (L, r)

με $R \ge r$ και KL=d

.

Θα δείξουμε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τέμνονται οι κύκλοι είναι R-r<d<R+r

.

: 24-10-2020 Γεωμετρία.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 3833 φορές

Έστω

, οπότε οι κύκλοι έχουν εξισώσεις αντίστοιχα

$\displaystyle \begin{array}{l} {C_1}:\;\;{x^2} + {y^2} = {R^2}\\ {C_2}:\;\;{\left( {x - d} \right)^2} + {y^2} = {r^2} \end{array}$

To σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = {R^2}\\ {\left( {x - d} \right)^2} + {y^2} = {r^2} \end{array} \right.$ έχει λύσεις

$\displaystyle \left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{R^2} - {r^2} + {d^2}}}{{2d}},\; \pm \frac{{\sqrt {4{d^2}{R^2} - {{\left( {{R^2} - {r^2} + {d^2}} \right)}^2}} }}{{2d}}} \right)$ αν και μόνο αν ισχύει

$\displaystyle 4{d^2}{R^2} \ge {\left( {{R^2} - {r^2} + {d^2}} \right)^2} \Leftrightarrow 2dR \ge {R^2} - {r^2} + {d^2} \Leftrightarrow {r^2} \ge {\left( {R - d} \right)^2} \Leftrightarrow r \ge \left| {R - d} \right|$
$\displaystyle \Leftrightarrow - r \le d - R \le r \Leftrightarrow R - r \le d \le R + r$

Αν και μόνο αν η ανίσωση ισχύει απολύτως, έχουμε ζεύγος λύσεων, άρα τομή των δύο κύκλων.

edit: (Συμπλήρωσα την περίπτωση επαφής):

Aν d = R+r

, τότε

και $\displaystyle χ= \frac{{{R^2} - {r^2} + {{\left( {R + r} \right)}^2}}}{{2\left( {R + r} \right)}} = R$ , οπότε εφάπτονται εξωτερικά στο A(R,0)

,
αφού το σημείο επαφής είναι εσωτερικό του

.

Αν

, τότε

και $\displaystyle x = \frac{{{R^2} - {r^2} + {{\left( {R - r} \right)}^2}}}{{2\left( {R - r} \right)}} = R$ , οπότε εφάπτονται εσωτερικά στο A(R,0)

,
αφού το L(d, 0)

είναι εσωτερικό του

.

Τα σχήματα, στις δύο περιπτώσεις ισότητας, μπορείτε να τα πλάσετε με τη φαντασία σας, εφόσον έχουμε απαλλαγεί από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα.

#9

Ο Γιώργος Ρίζος (ο πρώτος “αντιφρονών” που είχα υπόψη στο προηγούμενο μήνυμα), έπιασε το νόημα και εξώθησε συνοπτικά και υποδειγματικά το πρόβλημα της σχετικής θέσης δύο κύκλων ως την ακραία αλγεβροποίηση (το σχήμα που παραθέτει, όπως σημειώνει σκωπτικά και ο ίδιος, είναι καθαρά διακοσμητικό).
Αυτή την αλγεβροποίηση (και ακόμη χειρότερα σχέδια…) είχαν κατά νου όσοι μαθηματικοί εκφώνησαν και προώθησαν, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, την περιβόητη φράση “Να φύγει ο Ευκλείδης από τα σχολικά Μαθηματικά”.
Η διεθνής μεταρρύθμιση των λεγόμενων «Νέων Μαθηματικών» εφαρμόστηκε στην Ελλάδα σε μαζική κλίμακα τη διετία 1968-69, με την κυκλοφορία νέων και ιδιαίτερα απαιτητικών από πλευράς περιεχομένου βιβλίων, για όλες τις τάξεις του εξατάξιου (τότε) Γυμνασίου. Όσοι ήταν μαθητές της τρίτης Γυμνασίου (όπως ο υπογράφων) βίωσαν, στο μέσο της σχολικής χρονιάς, τη βίαιη μετάβαση από την παραδοσιακή «Θεωρητική Γεωμετρία» του Νικολάου στο νέο βιβλίο Γεωμετρίας του Ιωαννίδη. Το βιβλίο αυτό, που υιοθετούσε μια «σκληρή» εκδοχή της αξιωματικής θεμελίωσης του Hilbert για σχολική χρήση, ενισχυμένη με χρήση προσανατολισμού των σχημάτων, διανυσμάτων κ.λπ., έχει ένα θλιβερό “προνόμιο”: Αποσύρθηκε εσπευσμένα για να τροποποιηθεί – ουσιαστικά να αποσυρθεί – επειδή οι διδάσκοντες συνάντησαν “ανυπερβλήτους δυσκολίας” (σύμφωνα με γραπτή αναφορά του τότε Γενικού Επιθεωρητή Μαθηματικών Ιωάννη Ταμβακλή).
Ενδιαφέρον για το ζήτημα που εξετάζουμε παρουσιάζει το ακόλουθο γεγονός. Επειδή στα σχολικά βιβλία δεν ήταν φυσικά δυνατό να εκτεθεί εξαρχής το πλήρες σύστημα αξιωμάτων του Hilbert, οι συγγραφείς τους υιοθέτησαν μια μεσοβέζικη λύση. Χρησιμοποιούσαν το αντίστοιχο αξίωμα κάθε φορά που ήταν απαραίτητο σε μια απόδειξη. Έτσι, στην περίπτωση της ικανής συνθήκης τομής δύο κύκλων, το σχετικό αξίωμα εμφανίζεται στο βιβλίο του Ιωαννίδη λίγο πριν από την απόδειξη (και μάλιστα εξειδικεύεται σε σημείωση μετά από αυτήν!). Επίσης το βιβλίο “Θεωρητική Γεωμετρία” των Δ. Παπαμιχαήλ και Α. Σκιαδά (διδάχθηκε στα σχολεία την περίοδο 1977-1989 και το ανέφερε παραπάνω ο Τηλέμαχος), στο οποίο χρησιμοποιείται μια ηπιότερη εκδοχή των αξιωμάτων του Hilbert, το κρίσιμο αξίωμα εμφανίζεται στη διάρκεια της απόδειξης ως υποσημείωση! Οπότε ο «ανήσυχος μαθητής» εκείνης της εποχής είχε κάθε λόγο να αναρωτηθεί: “Γιατί δεν δεχόμαστε ως αξίωμα την ίδια τη συνθήκη τομής δύο κύκλων;” Αν γνώριζε και λίγη ιστορία, θα μπορούσε να μας στριμώξει για τα καλά αναφέροντας ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης έκανε κάτι περισσότερο, αφού στα “Στοιχεία” παρακάμπτει το επίμαχο σημείο με μία σιωπή που μάλλον σημαίνει πολλά…
Αλλά ας επανέλθουμε στον «ανήσυχο μαθητή» του σήμερα, για χάρη του οποίου ξεκίνησε αυτό το νήμα. Τι έχουμε να προτείνουμε μεταξύ των ακραίων καταστάσεων της απόλυτης αξιωματικοποίησης, της απόλυτης εξάρτησης από την (ενισχυμένη και με λογισμικά) εποπτεία και της απόλυτης αλγεβροποίησης, ώστε να διατηρήσουμε ζωντανή τη μορφωτική παράδοση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αφήνω το ερώτημα ανοικτό, δίνοντας και μία μικρή υπόδειξη: Αξίζει να μελετήσουμε τον τρόπο που διαχειρίζονταν το ζήτημα των σχετικών θέσεων δύο κύκλων οι συγγραφείς των διδακτικών βιβλίων, πριν από την εισβολή της σύγχρονης αξιωματικής θεμελίωσης στα σχολικά Μαθηματικά. Τα περισσότερα από αυτά είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα «για τους ρομαντικούς της γεωμετρίας» που διαχειρίζεται ο Τάκης Χρονόπουλος.

Γιάννης Θωμαΐδης

#10

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 26, 2020 12:22 pm
Αξίζει να μελετήσουμε τον τρόπο που διαχειρίζονταν το ζήτημα των σχετικών θέσεων δύο κύκλων οι συγγραφείς των διδακτικών βιβλίων, πριν από την εισβολή της σύγχρονης αξιωματικής θεμελίωσης στα σχολικά Μαθηματικά. Τα περισσότερα από αυτά είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα «για τους ρομαντικούς της γεωμετρίας» που διαχειρίζεται ο Τάκης Χρονόπουλος.

Γιάννης Θωμαΐδης

Ενδιαφέρον θέμα! Ελπίζω σε πλατύτερη συμμετοχή.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Από τρία δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα να κατασκευαστεί τρίγωνο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Έστω τρία ευθύγραμμα τμήματα a, b, c

. Πρόκειται να κατασκευάσουμε τρίγωνο που να έχει αυτές τις πλευρές.

Παρατήρηση
Επειδή σε κάθε τρίγωνο κάθε πλευρά είναι μικρότερη του αθροίσματος των άλλων, είναι αναγκαία συνθήκη, κάθε ένα από τα τμήματα να είναι μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο, για να γίνει η κατασκευή.

Κατασκευή
Έστω $a \ge b, a \ge c$ .
Παίρνουμε σε μια ευθεία τμήμα DE=a

και γράφουμε δύο περιφέρειες (D, b), (E,c)

. Οι περιφέρειες αυτές αλληλοτέμνονται. Αν

ένα από τα σημεία τομής τους και φέρουμε τις ακτίνες DZ, EZ

, το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

: 27-10-2020 Γεωμετρία.png (27.29 KiB) Προβλήθηκε 3701 φορές

Απόδειξη
Έστω $b \ge c$ . Η μεγαλύτερη περιφέρεια (D, b)

τέμνει το τμήμα

(αφού $DE = a \ge b$ ) σε σημείο

.
Το σημείο

βρίσκεται εντός της μικρότερης περιφέρειας (E,c)

,γιατί απέχει από το κέντρο της

λιγότερο μια ακτίνας.
Πράγματι, από την ανισότητα a < b+c

αν αφαιρέσουμε

έχουμε

δηλαδή

άρα

.
Επειδή, λοιπόν, υπάρχει σημείο της (D,b)

στο εσωτερικό της (E,c)

, αλλά δεν βρίσκεται ολόκληρη η περιφέρεια (D,b)

εντός της

(γιατί;), θα τέμνονται σε σημείο

.
Το τρίγωνο DEZ

έχει τις ζητούμενες πλευρές. Άλλο τρίγωνο, διαφορετικό απ’ αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί, αφού τρίγωνα που έχουν ίσες πλευρές είναι ίσα.

Περισσότερα στοιχεία δεν δίνω τώρα, για να μην χαθεί η αγωνία. Πάντως είναι από τα τέλη κάποιας δεκαετίας (του '80).

Al.Koutsouridis · #11

Αδράζω την ευκαιρία από την παραπάνω ανάρτηση του κ.Ρίζου, κατά ένα τρόπο προσπαθώντας να απαντήσω στο (γιατί;) στην απόδειξη που παρατίθεται και από την παρότρυνση του κ.Θωμαϊδη, θα παρουσιάσω περίπου πως προσεγγίζεται το θέμα σε ένα σχετικά παλιό σχολικό βιβλίο.

Επειδή τα ελληνικά βιβλία είναι εύκολα προσβάσιμα, θα παρουσιάσω την γεωμετρία του Κισελιόβ (Kiselev). Το σχολικό αυτό βιβλίο γράφτηκε (η πρώτη έκδοσή του) το 1892. Έκτοτε έχουν βγει πάνω από 25 εκδόσεις του, αφήνοντας όμως το κύριο κoρμό του βιβλίου και προσαρμόζοντας το ύφος σε πιο σύγχρονα δεδομένα ή εισάγοντας κάποια νέα κεφάλαια. Είναι το βιβλίο που χρησιμοποιήθηκε στην τσαρική Ρωσία ως σχολικό εγχειρίδιο, στην Σοβιετική Ένωση, με εξαίρεση το σχετικά μικρό διάστημα όπου χρησιμοποιήθηκαν τα βιβλία των Κολμογόροβ και Πογκορέλοβ, και χρησιμοποιείται ακόμα και τώρα είτε αυτούσιο, είτε σε βιβλία που είναι επηρεασμένα από αυτό (Σαρύγκιν κτλ.).

Στο βιβλίο αυτό το κεφάλαιο "Σχετική θέση ευθείας και κύκλου" ξεκινάει ως εξής.

$\S 117$ Εσωτερικά σημεία κύκλου και εξωτερικά αυτού. Ο κύκλος χωρίζει το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται σε τρία χωρία:
1) τα σημεία εκτός του κύκλου, η απόσταση των οποίων από το κέντρο του είναι μεγαλύτερη της ακτίνας του.
2) τα σημεία του κύκλου (περιφέρειας), η απόσταση των οποίων είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.
3) τα εσωτερικά σημεία του κύκλου, η απόσταση των οποίων από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη της ακτίνας του.

Τις ακόλουθες προτάσεις θα τις εκλάβουμε ως προφανείς:

Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα (ή τόξο) ενώνει ένα σημείο εντός του κύκλου με ένα σημείο εκτός του κύκλου, τότε θα τέμνει κάπου τον κύκλο.

: kiselev1.png (7.2 KiB) Προβλήθηκε 3667 φορές

Εδώ στην ουσία δεχόμενοι αξιωματικά ότι αυτό όντως είναι αληθές, μας λύνει τα χέρια. Παρεμπιπτόντως ο Jordan απέδειξε το θεώρημα του για τις κλειστές συνεχής καμπύλες λίγα χρόνια νωρίτερα το ( Cours d'analyse de l'École Polytechnique,1887 ).

Κάθε συνεχής κλειστεί καμπύλη που δεν τέμνει τον εαυτό της χωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία το εσωτερικό και το εξωτερικό, ώστε κάθε συνεχής καμπύλη που ενώνει ένα εσωτερικό σημείο με ένα εξωτερικό θα τέμνει κάπου την κλειστή καμπύλη.

Στην συνέχεια στο βιβλίο γίνεται αναφορά για την σχετική θέση ευθείας κύκλου και απόδειξη μερικών θεωρημάτων.

Στο επόμενο κεφάλαιο "Σχετική θέση δυο κύκλων" το κεφάλαιο ξεκινάει με το θεωρήματα:

$\S 125$ Αν δυο κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο εκτός της διακέντρου τους, τότε θα έχουν και ένα δεύτερο κοινό σημείο, συμμετρικό του πρώτου ως προς την διάκεντρο.

$\S 126$ Αν δυο κύκλοι έχουν κοινό σημείο στην διάκεντρό τους, τότε εφάπτονται. Καθώς και το αντίστροφό του.

$\S 129$ Διαφορετικές περιπτώσεις σχετικής θέσης δυο κύκλων. Στο σημείο αυτό απαριθμούνται οι διαφορετικές περιπτώσεις όπως και στο δικό μας σχολικό βιβλίο. Και συνεχίζει ως εξής:

Παρατήρηση. Στον μαθητή προτείνεται να εξετάσει (επαληθεύσει) την αλήθεια των αντίστροφων προτάσεων.

1) Αν $d > R+R_{1}$ , τότε οι κύκλοι είναι ο ένας εκτός του άλλου.
2) Αν $d =R+R_{1}$ , τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.
3) Αν $d < R+R_{1}$ και ταυτόχρονα $d > R-R_{1}$ , τότε οι κύκλοι τέμνονται.
4) Αν $d=R-R_{1}$ , οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.
5) Αν $d< R-R_{1}$ , τότε ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου.

Υπόδειξη: Όλες αυτές οι προτάσεις αποδεικνύονται με εις άτοπο, στην απόδειξη για την (3) χρησιμοποιείστε την θεώρηση (υπόθεση) που κάναμε στην παράγραφο $\S 117$ .

Σε αυτό το σημείο δε ξέρω τι λύση έχει υπόψη ο συγγραφέας αλλά θα μπορούσαμε να πούμε κάτι τέτοιο.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $R \geq R_{1}$ . Έστω το σημείο στο οποίο ο κύκλος $(O, R_{1})$ τέμνει την διάκεντρο $OO_{1}$ (προς το σημείο ). Έστω το δεν είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου , τότε $d=OP+PO_{1} \geq R+R_{1}$ . Άτοπο. Άρα το σημείο είναι εσωτερικό του κύκλου . Για το σημείο , αντιδιαμετρικό του ως προς το κύκλο $(O_{1}, R_{1})$ έχουμε $OQ =d+R_{1} > R$ .Οπότε το είναι εξωτερικό του κύκλου . Θεωρούμε το τόξο αυτό έχει ένα σημείο εσωτερικό του και ένα εξωτερικό. Επομένως θα τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο, έστω το . Από τα παραπάνω θεωρήματα θα τον τέμνει και σε ένα δεύτερο σημείο το . (Το ότι δυο κύκλοι δεν τέμνονται σε τρία σημεία έχει αποδειχθεί σε προηγούμενη παράγραφο)

: kiselev2.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 3667 φορές

Το γιατί του κ.Ρίζου νομίζω απαντάτε ως ένα βαθμό με αυτό το τρόπο.

Υγ. Tα δικαιώματα του βιβλίου έχουν λήξει, οπότε είναι ελεύθερη η αναπαραγωγή του.

#12

Κάτι παρόμοιο με αυτό που γράφει ο Αλέξανδρος. Η απόδειξη είναι από παλιό ελληνικό σχολικό βιβλίο. Έχουμε τους

κύκλους (O, R), (K, r),

με $R\ge r$ και OK=d.

Αν

θα δείξουμε ότι οι κύκλοι τέμνονται.

: Σχ.Θεσ. Κυκλ..png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 3626 φορές

Έστω

τα σημεία τομής του κύκλου (O)

με την ευθεία της διακέντρου (

προς το μέρος του

προς το οποίο δεν

βρίσκεται το

). Επειδή $R\ge r,$ είναι $\displaystyle r < R + d \Leftrightarrow KS > r.$ Άρα, το είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου

$\displaystyle \bullet$ Αν d>R,

τότε το

είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O)

και από $\displaystyle d < R + r \Leftrightarrow d - R < r \Rightarrow KP < r,$ οπότε το είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου

$\displaystyle \bullet$ Αν d=R,

τότε το

είναι σημείο του κύκλου (O)

και από $d<R+r \Leftrightarrow r>0,$ το

συμπίπτει με το και είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου

$\displaystyle \bullet$ Αν d<R,

τότε το

είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O)

και από $\displaystyle R - r < d \Leftrightarrow r > R - d \Rightarrow KP < r,$ οπότε το είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου

Άρα, σε κάθε περίπτωση το

είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (K)

και το

είναι εξωτερικό. Επομένως οι κύκλοι

τέμνονται σε δύο σημεία έστω A, B,

τα οποία δεν βρίσκονται στην ευθεία της διακέντρου (γιατί αλλιώς θα ήταν τα P, S

που είναι άτοπο αφού KP<r<KS

).

Al.Koutsouridis · #13

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 10:56 am
Κάτι παρόμοιο με αυτό που γράφει ο Αλέξανδρος. Η απόδειξη είναι από παλιό ελληνικό σχολικό βιβλίο.

Καλησπέρα κ.Γιώργο. Η εκτίμησή μου είναι πως και τα ελληνικά βιβλία, ρωσικά και άλλων χωρών είναι επηρεασμένα από την γαλλική σχολή της γεωμετρίας.

Μια μικρή παρένθεση εδώ, που εκ πρώτης όψεως μπορεί να μην έχει άμεση επαφή με το θέμα πιστεύω όμως άπτεται το τι πρέπει να κάνουμε για τον ανήσυχο μαθητή.

Στα μέσα του 18ου αιώνα εμφανίζεται στην Γαλλία η Εγκυκλοπαίδεια. Ένας από τους κύριους αρθρογράφους αυτής ήταν ο d’Alembert. Ο οποίος στα άρθρα του στην εγκυκλοπαίδεια πάνω κάτω θεωρούσε ότι οι αρχές της γεωμετρίας δεν πρέπει αυστηρά να ακολουθούν το πλάνο και την μέθοδο του Ευκλείδη. Απλά είναι απαραίτητο να κρατηθεί η εσωτερική σχέση των εννοιών. Οι αρχές της γεωμετρίας σύμφωνα με τον d’Alembert θα πρέπει να παρουσιάζονται ανάλογα με το ποιος θα είναι ο σκοπός του βιβλίου. Για την βασική εκπαίδευση, για την ποιο σοβαρή μελέτη της γεωμετρίας ή για την προετοιμασία ατόμων που έχουν κλίση και δυνατότητες για ειδική ενασχόληση για αυτήν την επιστήμη. Για κάθε μια κατηγορία θα πρέπει να γραφεί ειδικό εγχειρίδιο. Ως εκφραστής του διαφωτισμού πιθανόν ο d’Alembert να έλεγε τα παραπάνω με σκοπό την απλούστευση των στοιχείων του Ευκλείδη ώστε να είναι προσβάσιμα σε μεγαλύτερο κομμάτι του πληθυσμού.

Τις επόμενες δεκαετίες εμφανίζονται διάφορα βιβλία γεωμετρίας που αποκλίνουν από τον Ευκλείδη. Επικρατέστερα μεταξύ αυτών το Cours de mathématiques του Bezout, Eléments de géométrie του Legendre και Elements de Geometrie του Lacroix.

Του Bezout ήταν το σχετικά απλό και εύκολα κατανοητό. Με σημερινά δεδομένα θα λέγαμε ήταν για πιο τεχνική εκπαίδευση.

Ο Legendre αλγεβρικοποιήσε μερικά βιβλία των στοιχείων του Ευκλείδη και έδωσε μετρικό χαρακτήρα στην γεωμετρία. Ο μετρικός χαρακτήρας ήταν μια από τις ιδέες του d’Alembert.

Το βιβλίο του Lacroix δεν διέφερε πολύ από του Legendre αλλά είχε πιο πολλές λεπτομέρειες σε μερικά σημεία. Ήταν το τρίτο μιας σειράς βιβλίων που άρχιζαν με την αριθμητική και κατέληγαν με διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό.

Και τα τρία παραπάνω βιβλία ακολουθούν κατά ένα τρόπο τους τρεις διαφορετικούς σκοπούς που αναφέρει ο d’Alembert.

Για να επιστρέψουμε στα παραδείγματα του πως αντιμετωπίζεται το θέμα της σχετικής θέσης δυο κύκλων σε διάφορα βιβλία ας δούμε πως το αντιμετωπίζει ο Legendre. Ο τρόπος του δεν είναι διαφορετικός από αυτό που παρουσιάστηκε στις παραπάνω δυο αναρτήσεις και πάει πίσω στα τέλη του 18ου αιώνα. https://archive.org/details/cu319240011 ... 5/mode/2up (σελ 46-48)

Πρόταση XVI-Θεώρημα: Αν δυο κύκλοι τέμνονται, η απόσταση των δυο κέντρων τους θα είναι ταυτόχρονα, μικρότερη από το άθροισμα των ακτινών τους και μεγαλύτερη από την διαφορά τους.

Αν ενώσουμε το σημείο που τέμνονται οι κύκλοι, έστω με τα δυο κέντρα των κύκλων και $O^{\prime}$ , θα σχηματιστεί τρίγωνο στο οποίο τα τμήματα $OO^{\prime}$ και οι ακτίνες , $O^{\prime}A$ αποτελούν πλευρές του. Αλλά έχουμε δει ότι σε κάθε τρίγωνο μια πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δυο και μεγαλύτερη της διαφοράς τους.

Το αντίστροφο των παραπάνω πέντε προτάσεων είναι αληθές (εννοεί τις άλλες τέσσερις δυνατές περιπτώσεις σχετικής θέσης κύκλων που έχουν αναφερθεί νωρίτερα) και μπορεί να παρουσιαστούν με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα, αν η απόσταση μεταξύ των κέντρων είναι μικρότερη του αθροίσματος των ακτινών και μεγαλύτερη της διαφοράς τους, τότε οι κύκλοι τέμνουν ο ένας τον άλλον. Γιατί αν ήταν ο ένας εξωτερικός του άλλου ή εσωτερικός η απόσταση των κέντρων τους θα ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους ή μικρότερη της διαφοράς τους. Αν εφάπτονταν η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους θα ήταν ίση με το άθροισμά των ακτινών τους ή την διαφορά τους.

Ίσως λοιπόν εδώ, όπως αναφέρει ο d’Alembert, πρέπει να δούμε που «εντάσσεται» ο ανήσυχος μαθητής και να του προτείνουμε το κατάλληλο βιβλίο. Ξεκινώντας από κάποιες δικαιολογήσεις της μορφής των παραπάνω αναρτήσεων; μεταβαίνοντας σε βιβλία όπως του Κανέλλου; αν ακόμα έχει το ενδιαφέρον και εν τέλη αν έχει τις δυνατότητες να εξετάσουμε την έννοια της συνεχούς καμπύλης;

Παρατηρούμε ότι η συνέχεια είναι η κεντρική έννοια που μας δυσκολεύει. Είτε στην μορφή των αξιωμάτων συνέχειας, είτε στην μορφή του θεωρήματος Jordan. Την έννοια αυτή δεν θα την μελετήσει ο μαθητής στο λύκειο (τα θεωρήματα Bolzano, μέγιστης ελάχιστης τιμής δεν αποδεικνύονται). Είναι πολλά τα 3-4 χρόνια που πρέπει να περιμένει μέχρι να δει αυτές τις έννοιες στο πανεπιστήμιο ή είναι απλά ο απαραίτητος χρόνος που πρέπει να δώσουμε να ωριμάσει η σκέψη μας; Θα μπορούσε να πει κάποιος μα η ανάλυση δεν είναι γεωμετρία

#14

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο και τον Γιώργο για τις εμπεριστατωμένες αναρτήσεις τους. Αποκαλύπτω την πηγή της παραπάνω ανάρτησης που ήταν όντως από τα τέλη κάποιας δεκαετίας του '80.

Στοιχειώδης Γεωμετρία του Ιωάννου Χατζηδάκη, 1888.

: Χατζιδάκης - Στοιχειώδης Γεωμετρία 1888.jpg (177.11 KiB) Προβλήθηκε 3578 φορές

Όπως διαπιστώνετε, έκανα μια προσαρμογή της απόδειξης του Ι. Χατζηδάκη και έθεσα το ερώτημα (γιατί;), το οποίο το εκλαμβάνει ως δεδομένο.
Η απάντηση που είχα κατά νου ήταν ίδια με την αιτιολόγηση του Γιώργου. (Ποιο παλιό σχολικό βιβλίο την έχει;)
Κάτι σχετικό με τις αναρτήσεις του Αλέξανδρου εντόπισα και σε ένα όχι τόσο σύγχρονο βιβλίο, (όσο τα προαναφερθέντα

). Θα το παρουσιάσω σε επόμενη ανάρτηση, μόλις μπορέσω να μισομεταφράσω το γαλλικό κείμενο.

#15

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 8:15 pm
Κάτι σχετικό με τις αναρτήσεις του Αλέξανδρου εντόπισα και σε ένα όχι τόσο σύγχρονο βιβλίο, (όσο τα προαναφερθέντα ). Θα το παρουσιάσω σε επόμενη ανάρτηση, μόλις μπορέσω να μισομεταφράσω το γαλλικό κείμενο.

Από το βιβλίο Nouveaux Éléments de Géométrie του Antoine Arnauld του 1683.

: Arnauld.jpg (181.13 KiB) Προβλήθηκε 3560 φορές

#16

Πολύ ενδιαφέροντα είναι τα ιστορικά στοιχεία που αναφέρει ο Αλέξανδρος, όπως επίσης και οι δύο αναρτήσεις του Γιώργου από τα ιστορικά πλέον βιβλία των Ι. Χατζηδάκη και A. Arnauld (θα προσπαθήσω να μεταφράσω το γαλλικό). Το σχολικό βιβλίο στο οποίο αναφέρθηκα είναι σχετικά πρόσφατο και το διδάχτηκα όταν ήμουν μαθητής. Είναι του Ι. Ιωαννίδη-1968 . Αξίζει να σημειωθεί, ότι απευθυνόταν σε μαθητές Γ' Γυμνασίου.

#17

Ας σημειώσουμε ότι το «πρόβλημα» εμφανίζεται ήδη από την πρώτη πρόταση των Στοιχείων του Ευκλείδη. Για την κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου με πλευρά

χρησιμοποιείται ότι οι κύκλοι με κέντρα τα

και

αντίστοιχα και ακτίνες ίσες με

τέμνονται.

Στο βιβλίο του Heath υπάρχουν κάποια σχόλια για το πως μπορεί να αποδειχθεί αυτό αν εισαγάγουμε το αξίωμα της συνέχειας. Στο τεύχος που έχω εγώ (εκδόσεις Dover) είναι στον πρώτο τόμο σελίδες 234-240.

#18

Η παρέμβαση του Δημήτρη μας επαναφέρει στις ιστορικές ρίζες του ζητήματος και δίνει την ευκαιρία να συνοψίσουμε την ενδιαφέρουσα συζήτηση.
1) Ο Ευκλείδης εκθέτει στα Στοιχεία την κατασκευή τριγώνου, αρχικά ισόπλευρου και στη συνέχεια σκαληνού με πλευρές τρία ευθύγραμμα τμήματα που ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα. Και στις δύο περιπτώσεις η τομή των δύο κύκλων, που γράφονται με κέντρα τα άκρα του ενός τμήματος και ακτίνες τα άλλα δύο, θεωρείται δεδομένη. Ο Πρόκλος, που έγραψε σχόλια για τα Στοιχεία, αναφέρει ότι αυτή η παραδοχή έγινε αντικείμενο κριτικής. Ο ίδιος προσπάθησε να αντικρούσει τους επικριτές αποδεικνύοντας με απαγωγή σε άτοπο, ότι οι συγκεκριμένοι κύκλοι δεν μπορεί να εφάπτονται εξωτερικά ή να είναι ο ένας εκτός του άλλου (δηλαδή εξέτασε μόνο 2 από τις 4 εναλλακτικές περιπτώσεις).
2) Η μελέτη του ζητήματος τη νεώτερη εποχή στηρίχθηκε στη διαπίστωση ότι υπάρχουν 5 δυνατές περιπτώσεις για τη θέση δύο κύκλων στο επίπεδο, καθώς και στη δυνατότητα απόδειξης, για κάθε περίπτωση, μιας αναγκαίας συνθήκης μεταξύ του διακεντρικού τμήματος $\delta$
και των ακτίνων

και $\rho$ . Αν π.χ. οι κύκλοι τέμνονται, τότε από την τριγωνική ανισότητα έπεται ότι $R-\varrho <\delta <R+\rho$ (1)

.
Από το σύνολο αυτών των 5 συνθηκών αποδεικνύεται εύκολα, με απαγωγή σε άτοπο, ότι κάθε μία είναι και ικανή συνθήκη για την αντίστοιχη θέση των δύο κύκλων. Αυτή η προσέγγιση υιοθετήθηκε το 1794 στο βιβλίο του Legendre Eléments de géométrie (στην Αγγλική μετάφραση του οποίου μας παρέπεμψε ο Αλέξανδρος), και μέσω αυτού σε όλα τα μεταγενέστερα βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως το περίφημο Ρωσικό του Kiselev. Συμπληρωματικά αναφέρω ότι το βιβλίο του Legendre μεταφράστηκε 4 φορές στα Ελληνικά κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα.
3) Μια εναλλακτική απόδειξη ότι η (1) αποτελεί ικανή συνθήκη τομής δύο κύκλων είναι αυτή από το βιβλίο του Χατζιδάκι Στοιχειώδης Γεωμετρία (1888) που παρέθεσε ο Γιώργος Ρίζος. Η κεντρική ιδέα της απόδειξης είναι ότι από την (1) συνάγεται η ύπαρξη σημείου του ενός κύκλου στο εσωτερικό του άλλου (όπως και ένα στο εξωτερικό του), οπότε καθίσταται “προφανής” η ύπαρξη ενός κοινού σημείου. Το πιο σημαντικό είναι όμως ότι η συγκεκριμένη απόδειξη φανερώνει τι είδους αξιώματα πρέπει να υιοθετηθούν ώστε να καταστεί “αυστηρή”. Την ίδια εποχή βρίσκεται σε εξέλιξη η έρευνα για πλήρη αξιωματικοποίηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και ένα γενικό αξίωμα “συνέχειας”, που καλύπτει την προηγούμενη περίπτωση, διατυπώθηκε από τον Killing στο βιβλίο του Einführung in die Grundlagen der Geometrie (1893). Ένα ακόμη πιο γενικό αξίωμα “συνέχειας” διατύπωσε ο Hilbert στο Grundlagen der Geometrie (1899), που θεωρείται η Βίβλος της σύγχρονης αξιωματικής μεθόδου στα Μαθηματικά. Το επίτευγμα, αλλά και τίμημα συγχρόνως αυτής της εξέλιξης ήταν ο εξοβελισμός κάθε στοιχείου εποπτείας από τις γεωμετρικές αποδείξεις.
4) Ίδια ουσιαστικά με την απόδειξη που Χατζιδάκι είναι αυτή που χρησιμοποιείται στο βιβλίο του Ιωαννίδη (1968) και παρέθεσε ο Γιώργος Βισβίκης. Το τελευταίο όμως, ακολουθώντας τη μόδα των “Νέων Μαθηματικών” και επιχειρώντας να είναι “αυστηρό” σε μαθητές Γ΄ Γυμνασίου, καταφεύγει μοιραία σε διδακτικές ακροβασίες: το κρίσιμο αξίωμα αναφέρεται σε σημείωση μετά την απόδειξη ως επέκταση άλλου που είχε προηγηθεί! Δεν ξέρω αν ο συνομήλικος Γιώργος συμφωνεί, αλλά έχω την αίσθηση ότι οι διδάσκοντες και οι μαθητές που διδάχθηκαν για πρώτη φορά το συγκεκριμένο βιβλίο χρησιμοποιήθηκαν ως πειραματόζωα…
5) Δεν υπάρχει διδακτική πρόταση αποτελεσματική για όλους τους μαθητές, πόσο μάλλον για τους “ανήσυχους” και ικανούς να θέτουν ερωτήματα όπως αυτό που στάθηκε αφορμή της συζήτησης. Βασική προϋπόθεση είναι η ύπαρξη “ανήσυχων” δασκάλων με γνώσεις που δεν περιορίζονται στην εξεταστέα ύλη και τα σχολικά βιβλία. Θα κλείσω αναφέροντας τη διδακτική πρόταση του Γιάννη Ντάνη, ενός χαρισματικού δασκάλου της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, από το βιβλίο του Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας (το πασίγνωστο πράσινο). Όπως γράφει, το βιβλίο “… απευθύνεται εις τους υποψηφίους του Ακαδημαϊκού Απολυτηρίου και τους μαθητάς του Λυκείου, δηλαδή εις αναγνώστας οι οποίοι προσπαθούν να καταλάβουν το κύριον περιεχόμενον ενός επιστημονικού κλάδου και την βασικήν του μεθοδολογίαν”. Ενώ στην εισαγωγή αναπτύσσει το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert, στην ενότητα “Θέσεις δυο μη ομόκεντρων περιφερειών” δεν διστάζει να χρησιμοποιήσει την παραδοσιακή καταγραφή των 5 δυνατών περιπτώσεων με άπλετη χρήση της γεωμετρικής εποπτείας. Διατυπώνει τις αντίστοιχες αναγκαίες συνθήκες και αναφέρει απλώς ότι “Στις παραπάνω προτάσεις ισχύουν και τα αντίστροφα”. Πόσοι “ανήσυχοι” μαθητές μπορούν σήμερα να ανταποκριθούν σε μια τέτοια πρόκληση;

Γιάννης Θωμαΐδης

#19

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 31, 2020 11:24 am

4) Ίδια ουσιαστικά με την απόδειξη που Χατζιδάκι είναι αυτή που χρησιμοποιείται στο βιβλίο του Ιωαννίδη (1968) και παρέθεσε ο Γιώργος Βισβίκης. Το τελευταίο όμως, ακολουθώντας τη μόδα των “Νέων Μαθηματικών” και επιχειρώντας να είναι “αυστηρό” σε μαθητές Γ΄ Γυμνασίου, καταφεύγει μοιραία σε διδακτικές ακροβασίες: το κρίσιμο αξίωμα αναφέρεται σε σημείωση μετά την απόδειξη ως επέκταση άλλου που είχε προηγηθεί! Δεν ξέρω αν ο συνομήλικος Γιώργος συμφωνεί, αλλά έχω την αίσθηση ότι οι διδάσκοντες και οι μαθητές που διδάχθηκαν για πρώτη φορά το συγκεκριμένο βιβλίο χρησιμοποιήθηκαν ως πειραματόζωα…

Γιάννης Θωμαΐδης

Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα σε όλους!

Συμφωνώ απόλυτα. Ωστόσο, εμείς ως μαθητές Γ' Γυμνασίου, που στην πραγματικότητα ερχόμασταν για πρώτη φορά σε επαφή με Θεωρητική Γεωμετρία, δεν είχαμε μέτρο σύγκρισης και νομίζαμε ότι αυτή ήταν η Γεωμετρία που έπρεπε να διδαχτούμε με τα αξιώματα, με τις προσανατολισμένες γωνίες, κλπ. Νομίζω ότι το μεγαλύτερο πρόβλημα το είχαν οι διδάσκοντες. Θυμάμαι χαρακτηριστικά, ότι περάσαμε στα γρήγορα τα δύο πρώτα κεφάλαια και, από το τρίγωνο και μετά ο καθηγητής μας έφερνε σχολείο το βιβλίο του Τόγκα και μας έκανε μάθημα από εκεί. Όταν είπαμε ότι ήταν ακριβό και δεν μπορούσαμε να το αγοράσουμε, τότε μας είπε να κρατάμε σημειώσεις και στο τέλος μας υπαγόρευε τις ασκήσεις που θα είχαμε για το επόμενο μάθημα.

Κάτι παρόμοιο είχε συμβεί με το βιβλίο της Β' Γυμνασίου - 1967 (δεν ξέρω τι απέγινε). Δεν θυμάμαι τους συγγραφείς. Θυμάμαι όμως ότι ήταν γραμμένο σε γραφομηχανή και όχι τυπωμένο όπως τα άλλα βιβλία. Αυτό μου είχε κάνει μεγάλη εντύπωση τότε. Νομίζω ότι το 1967 ξεκινήσαμε τη θητεία μας ως πειραματόζωα (διανύσματα, θεωρία συνόλων, άλγεβρα και γαία πυρί μιχθήτω).

#20

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 26, 2020 12:22 pm

Αλλά ας επανέλθουμε στον «ανήσυχο μαθητή» του σήμερα, για χάρη του οποίου ξεκίνησε αυτό το νήμα. Τι έχουμε να προτείνουμε μεταξύ των ακραίων καταστάσεων της απόλυτης αξιωματικοποίησης, της απόλυτης εξάρτησης από την (ενισχυμένη και με λογισμικά) εποπτεία και της απόλυτης αλγεβροποίησης, ώστε να διατηρήσουμε ζωντανή τη μορφωτική παράδοση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αφήνω το ερώτημα ανοικτό, δίνοντας και μία μικρή υπόδειξη: Αξίζει να μελετήσουμε τον τρόπο που διαχειρίζονταν το ζήτημα των σχετικών θέσεων δύο κύκλων οι συγγραφείς των διδακτικών βιβλίων, πριν από την εισβολή της σύγχρονης αξιωματικής θεμελίωσης στα σχολικά Μαθηματικά. Τα περισσότερα από αυτά είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα «για τους ρομαντικούς της γεωμετρίας» που διαχειρίζεται ο Τάκης Χρονόπουλος.

Γιάννης Θωμαΐδης

Καλησπέρα σε όλους. Παραθέτω κάποια αποσπάσματα από το βιβλίο των Α. Αλιμπινίση, Γ. Δημάκου, Θ. Εξαρχάκου, Δ. Κοντογιάννη και Γ. Τασσόπουλου Θεωρητική Γεωμετρία Α’ Ενιαίου Λυκείου (Α’ έκδοση 1990), ΟΕΔΒ.

Οι συγγραφείς δίνουν στη σελίδα 121 την εξής απόδειξη (Θεώρημα ΙΙ)

: Aλιμπινίσης (1).jpg (92.94 KiB) Προβλήθηκε 3350 φορές

Σε υποσημείωση αναφέρουν ότι στο παράρτημα υπάρχει η απόδειξη του αντιστρόφου της τριγωνικής ανισότητας (Πρόταση σελ. 164).

: Αλιμπινίσης (2).jpg (92.35 KiB) Προβλήθηκε 3350 φορές

Στην αρχή της απόδειξης χρησιμοποιείται αναπόδεικτη η πρόταση:
Αν η πλευρά

τριγώνου

είναι μεγαλύτερη ή ίση των άλλων, τότε η προβολή της απέναντι κορυφής της

είναι εσωτερική σ’ αυτήν. Θεωρείται προφανής η απόδειξή της, που βασίζεται στο ότι οι οι γωνίες με κορυφές τα B, C

δεν μπορεί να είναι αμβλείες.
Κατόπιν, με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος, διατυπώνεται η αναγκαία συνθήκη για να έχει λύση ένα σύστημα εξισώσεων κι έτσι στην απόδειξη αξιοποιούνται αλγεβρικά εργαλεία.

Στη σελίδα 65 του βιβλίου διατυπώνεται και αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο το θεώρημα ΙΙΙ (αντίστροφο της τριγωνικής ανισότητας)

: Aλιμπινίσης (3).jpg (31.03 KiB) Προβλήθηκε 3350 φορές

Τίθεται το ερώτημα: Θα μπορούσε η πρόταση της σελίδας 164 να αποδειχθεί ως συνέχεια του θεωρήματος ΙΙΙ (σελ. 65);

Επιχειρώ μια προσέγγιση του προβλήματος:

Έστω τμήματα a, b, c

με

.

Στις ημιευθείες Ax, Ay

μεταβλητής γωνίας xAy

παίρνουμε τμήματα AB = c, AC = b

αντίστοιχα.

Το πρόβλημά μας, λοιπόν, είναι να αποδείξουμε ότι είναι δυνατή η τοποθέτηση των B, C

στο επίπεδο, έτσι ώστε BC = a

και τα

να μην είναι συνευθειακά.

Η δεύτερη συνθήκη είναι προφανής:

Αν τα A, B, C

ήταν συνευθειακά, θα ήταν BC = AB+AC = b + c

ή

, άτοπο, άρα τα A, B, C

δεν είναι μπορεί να είναι συνευθειακά.

Για να αποδείξουμε, όμως, ότι είναι δυνατή η τοποθέτηση των B, C

στο επίπεδο, έτσι ώστε BC = a

πρέπει να δεχτούμε ότι όπως μεταβάλλεται η γωνία xAy

, το μήκος του

διατρέχει το διάστημα |b-c|, b+c

, δηλαδή μπορεί να γίνει ίσο με οποιαδήποτε τιμή του

στο διάστημα |b-c|, b+c

Το ερώτημά μου είναι: Καλύπτεται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία αυτό το σημείο (με έντονο μπλε χρώμα);
Θα χαρώ να δω τις απαντήσεις σας.

Σχετική θέση δυο κύκλων

Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Μέλη σε σύνδεση