Σχετική θέση δυο κύκλων

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σχετική θέση δυο κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Οκτ 15, 2020 10:30 am

Στο σχολικό βιβλίο της γεωμετρίας της Α' Λυκείου, στο κεφάλαιο "Σχετικές θέσεις δυο κύκλων" αναφέρει:

\bullet Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι (K, R) και (\Lambda, \rho) τέμνονται, δηλαδή έχουν δυο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R-\rho < \delta < R+\rho. (K\Lambda =\delta)

Τι θα λέγαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 15, 2020 11:02 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Οκτ 15, 2020 10:30 am
Στο σχολικό βιβλίο της γεωμετρίας της Α' Λυκείου, στο κεφάλαιο "Σχετικές θέσεις δυο κύκλων" αναφέρει:

\bullet Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι (K, R) και (\Lambda, \rho) τέμνονται, δηλαδή έχουν δυο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R-\rho < \delta < R+\rho. (K\Lambda =\delta)

Τι θα λέγαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί;
Από τη σχέση που δίνεται (τριγωνική ανισότητα), υπάρχουν δύο σημεία A, B ώστε για τα τρίγωνα \displaystyle {\rm A}{\rm K}\Lambda ,{\rm B}{\rm K}\Lambda να είναι

\displaystyle {\rm A}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} = R και \displaystyle {\rm A}\Lambda  = {\rm B}\Lambda  = \rho . Τα σημεία A, B ανήκουν προφανώς στους δύο κύκλους και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Οκτ 15, 2020 11:53 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 15, 2020 11:02 am

Από τη σχέση που δίνεται (τριγωνική ανισότητα), υπάρχουν δύο σημεία A, B ώστε για τα τρίγωνα \displaystyle {\rm A}{\rm K}\Lambda ,{\rm B}{\rm K}\Lambda να είναι

\displaystyle {\rm A}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} = R και \displaystyle {\rm A}\Lambda  = {\rm B}\Lambda  = \rho . Τα σημεία A, B ανήκουν προφανώς στους δύο κύκλους και το ζητούμενο έπεται.
Η τριγωνική ανισότητα διατυπώνεται σε προηγούμενη ενότητα μόνο στο ευθύ της, αν δεν κάνω λάθος. Δηλαδή σε ένα τρίγωνο ισχύει, αλλά αν ισχύει για κάποια τμήματα, τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές αυτά τα τμήματα δεν διατυπώνεται κάπου. Η δε κατασκευή γίνεται σε παρακάτω ενότητα χρησιμοποιώντας τους τεμνόμενους κύκλους.


Γιάννης Θωμαΐδης
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Θωμαΐδης » Σάβ Οκτ 17, 2020 11:11 am

Το ερώτημα που θέτει ο Αλέξανδρος Κουτσουρίδης, μέσω ενός "ανήσυχου μαθητή", είναι πάρα πολύ ενδιαφέρον (η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο θα ήταν ίσως σε πιο αξιοπρεπές επίπεδο αν υπήρχαν περισσότεροι νέοι μαθηματικοί με παρόμοιες ανησυχίες …).
Η πλήρης διαπραγμάτευση του ικανού της συνθήκης R-\rho <\delta <R+\rho (1) για την ύπαρξη σημείου τομής των δύο κύκλων υπερβαίνει τα όρια ενός μηνύματος. Ελπίζω όμως ότι τα παρακάτω στοιχεία θα ανοίξουν την όρεξη των φιλομαθών για περισσότερη μελέτη και εμβάθυνση.
Το Πρόγραμμα Σπουδών (Φ.Ε.Κ. Β΄ 1342, 30-6-1999) σύμφωνα με το οποίο έγινε η συγγραφή του σχολικού βιβλίου Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αναφέρει στην ενότητα "Σχετικές θέσεις δύο κύκλων" ότι: "Οι σχέσεις μεταξύ της διακέντρου και των ακτίνων δύο κύκλων θα διαπιστωθούν εποπτικά". Υποθέτω ότι οι συντάκτες του Π.Σ. ακολούθησαν εδώ ευλαβικά τον Ευκλείδη. Ο συγγραφέας των Στοιχείων το 300 π.Χ. φαίνεται να μην έχει καμία αμφιβολία ότι οι δύο κύκλοι που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή ενός τριγώνου, με πλευρές τρία ευθύγραμμα τμήματα που ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα, θα τέμνονται οπωσδήποτε. Το αξιοπερίεργο είναι ότι στην ανανεωμένη έκδοση του Προγράμματος Σπουδών που δημοσιεύτηκε το 2011 (Φ.Ε.Κ. Β΄ 1168, 8-6-2011) αναφέρεται ότι "Οι μαθητές προσδιορίζουν και αιτιολογούν τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων". Επειδή όμως οι συντάκτες του νέου προγράμματος δεν διευκρινίζουν τη σημασία του ρήματος "αιτιολογώ", υποθέτω ότι και αυτοί εννοούν "εποπτική διαπίστωση", ίσως τώρα ενισχυμένη με τη χρήση κάποιου λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.
Η απαίτηση ότι η (1), ως ικανή συνθήκη για την ύπαρξη σημείου τομής δύο κύκλων, χρειάζεται απόδειξη τέθηκε ήδη από τους αρχαίους σχολιαστές του Ευκλείδη. Οι απόπειρες όμως που έγιναν με απαγωγή σε άτοπο (αν υποτεθεί ότι οι κύκλοι εφάπτονται ή ότι δεν τέμνονται) ήταν ελλιπείς επειδή δεν μπορούσαν να εξαντλήσουν όλες τις περιπτώσεις. Διάφορες αυστηρές αποδείξεις (δηλαδή χωρίς αναφορά στην εποπτεία) δόθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα στο πλαίσιο της αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αυτές όμως απαιτούν την εισαγωγή επιπλέον ή εντελώς νέων αξιωμάτων, την απόδειξη λημμάτων και είναι μακροσκελείς.
Η διαπραγμάτευση του ζητήματος στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν ήταν ποτέ εύκολη υπόθεση, ακόμη και τις περιόδους της μεγάλης ακμής του μαθήματος. Θα αναφέρω μόνο τον τρόπο που γίνεται σε δύο εμβληματικά έργα της ελληνικής βιβλιογραφίας, το Επιπεδομετρία – Αποδεικτικαί Προτάσεις (Τεύχος 1) των Γεωργίου Τσίντσιφα, Στέφανου Μπαλλή & Ιωάννη Ζουρνά (1972) και το Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος του Σπύρου Κανέλλου (1970).
Στο πρώτο η απόδειξη δίνεται σε Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου "…δι’ αυτούς τους μαθητάς που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά …", με βάση το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert και αφού προηγηθεί η απόδειξη τριών λημμάτων. Η παρουσίαση ολοκληρώνεται βέβαια με την παρατήρηση ότι "Το ανωτέρω θεώρημα αποδεικνύει την ύπαρξιν τριγώνου με πλευράς τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ εκ της σχέσεως |\beta -\gamma |<\alpha <\beta +\gamma ". Στο δεύτερο βιβλίο, που χρησιμοποιεί μια παραλλαγή του συστήματος αξιωμάτων του Hilbert, αποδεικνύεται πρώτα η ύπαρξη τριγώνου με πλευρές τρία τμήματα όταν το καθένα είναι μικρότερο από το άθροισμα των δύο άλλων, οπότε το ικανό της (1) για την τομή δύο κύκλων έπεται άμεσα. Η απόδειξη όμως της ύπαρξης του τριγώνου είναι μακροσκελής δεδομένου ότι στηρίζεται επίσης σε τρία λήμματα.
Τι θα λέγαμε, λοιπόν, σ’ έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε γιατί; Αυτό είναι ένα δύσκολο ερώτημα εφαρμοσμένης διδακτικής των Μαθηματικών για το οποίο, όπως θα έλεγε και ο Ευκλείδης, δεν υπάρχει "βασιλική οδός".

Γιάννης Θωμαΐδης


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 985
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Οκτ 17, 2020 10:03 pm

Διδάσκοντας το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου από το τρέχον διδακτικό βιβλίο αντιμετώπιζα το ίδιο ακριβώς πρόβλημα...
Πώς πείθεις έναν ανήσυχο μαθητή για την ισοδυναμία...
Το βιβλίο δεν είναι διαφωτιστικό...
Κατά την περίοδο 1982-1983 ο ανήσυχος μαθητής που αναφέρει ο Αλέξανδρος ήμουν εγώ. Με μοναδικό εφόδιο το τότε διδακτικό βιβλίο των Δημήτρη Παπαμιχαήλ και Αναστασίου Σκιαδά , προσπαθούσα να καταλάβω όσο γινόταν πιο πολλά...
Μερικές φορές αφιέρωνα ώρες στην μελέτη μιας απόδειξης...
Το βιβλίο αυτό στις σελίδες 123,124 έχει μια απόδειξη της ισοδυναμίας για την οποία συζητάμε. Σας παρακαλώ, δείτε την...
Στο τελικό κομμάτι της απόδειξης που μας απασχολεί επικαλείται ένα αξίωμα, αυτό όμως δεν εμπόδισε το εφηβικό μου μυαλό να την αποδεχθεί.

Γιάννη, εσύ σίγουρα έχεις διδάξει από αυτό το βιβλίο...

Αλέξανδρε, να 'ξερες πόσο πίσω με πήγες...
Τότε που προσπαθούσα να ξεκλειδώσω τα μυστικά της Γεωμετρίας, τότε που νόμιζα ότι σε δύο χρόνια θα μάθω όλη την Επιπεδομετρία - πόσο λάθος έκανα - και τότε που πίστευα ότι στην ζωή μου θα έχω χρόνο για να εμβαθύνω σε όποιο μαθηματικό θέμα διαλέξω...


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Οκτ 23, 2020 1:09 pm

Να ευχαριστήσω τους κ. Γιάννη και Τηλέμαχο για τις παρεμβάσεις τους.

Απάντηση δεν έχω αλλά μπορεί να δημιουργηθεί μια εποικοδομητική συζήτηση στην τάξη ή εκτός.

Αφορμή για την δημοσίευση στάθηκε το ξεφύλλισμα στο περιοδικό τα Μαθηματικά στο σχολείο και τα σχολικά βιβλία της Ρωσίας που έκανα για να βρω κάποια ενδιαφέροντα προβλήματα για να μοιραστώ.

Στο σχολικό βιβλίο του Πογκορέλοβ (Γεωμετρία για τις τάξεις 7-11) στο κεφάλαιο του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχει τις εξής αφύσικες ασκήσεις προς λύση:

40. Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c, που ικανοποιούν τις συνθήκες c \leq b \leq a < b+c. Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b.

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b και κάθετη πλευρά CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο AC=b, BC=a και η απόσταση CD είναι ίση με \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}, θα έχει πλευρά AB=c (βλ. σχήμα).
Υπάρξεις.png
Υπάρξεις.png (5.47 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

41. Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c. Να αποδείξετε ότι, αν ο καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερος από το άθροισμα των άλλων δυο, τότε θα υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών a,b,c.

Το βιβλίο δεν έχει τις λύσεις, ούτε υπόδειξη για να δει κανείς ποια λύση είχε υπόψη ο συγγραφέας. Το βιβλίο αυτό στηρίζεται σε λίγο διαφορετικά αξιώματα από του Ευκλείδη, που προσπαθεί να ακολουθήσει το ελληνικό σχολικό βιβλίο και είναι δύσκολη η αντιστοίχηση ύλης/λύσεων.

Έτσι αναρωτήθηκα αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παραπάνω άσκηση στα πλαίσια του δικού μας βιβλίου ώστε να αποδειχθεί το αντίστροφο της τριγωνικής ανισότητας.

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 11:11 am

Η διαπραγμάτευση του ζητήματος στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν ήταν ποτέ εύκολη υπόθεση, ακόμη και τις περιόδους της μεγάλης ακμής του μαθήματος. Θα αναφέρω μόνο τον τρόπο που γίνεται σε δύο εμβληματικά έργα της ελληνικής βιβλιογραφίας, το Επιπεδομετρία – Αποδεικτικαί Προτάσεις (Τεύχος 1) των Γεωργίου Τσίντσιφα, Στέφανου Μπαλλή & Ιωάννη Ζουρνά (1972) και το Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος του Σπύρου Κανέλλου (1970).
Στο πρώτο η απόδειξη δίνεται σε Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου "…δι’ αυτούς τους μαθητάς που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά …",
Εξαιρετικά βιβλία, δυστυχώς δεν τα είχα υπόψη μου όταν ήμουν μαθητής. Ίσως θα ήταν καλό να επανεκδοθούν στην δημοτική, ακριβώς για τους μαθητές που αγαπούν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά. Όχι ότι είναι μη κατανοητή η γλώσσα τους, αλλά καμιά φορά το μέσο αγιάζει το σκοπό.


Γιάννης Θωμαΐδης
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Θωμαΐδης » Σάβ Οκτ 24, 2020 8:20 pm

Το σύστημα αξιωμάτων του Pogorelov που αναφέρει ο Αλέξανδρος έχει χρησιμοποιηθεί για τη θεμελίωση της σχολικής γεωμετρίας και στην Ελλάδα, συγκεκριμένα στο βιβλίο “Θεωρητική Γεωμετρία Α΄ Ενιαίου Λυκείου” των Α. Αλιμπινήση, Γ. Δημάκου, Θ. Εξαρχάκου, Δ. Κοντογιάννη & Γ. Τασσόπουλου (που διδάχθηκε στα σχολεία την περίοδο 1990-1998).
Στο σύστημα αυτό εισάγονται εξαρχής δύο αξιώματα που εξασφαλίζουν τη δυνατότητα μέτρησης ευθυγράμμων τμημάτων και γωνιών, γεγονός που επιτρέπει μια πιο “ευέλικτη” θεμελίωση αλλά και μια ριζική ανατροπή της διάταξης των προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (η οποία είχε παραμείνει ουσιαστικά αμετάβλητη από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι και τον Hilbert).
Χαρακτηριστικό δείγμα αυτής της ανατροπής είναι ότι στο παραπάνω βιβλίο η έννοια του κύκλου εισάγεται στο τελευταίο κεφάλαιο, μετά το θεώρημα του Θαλή, τα όμοια πολύγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Ένα αποτέλεσμα της νέας τάξης των πραγμάτων είναι και οι ασκήσεις του ρωσικού σχολικού βιβλίου που παραθέτει ο Αλέξανδρος και, πολύ ορθά, τις χαρακτηρίζει ως “αφύσικες”. Οι ασκήσεις αυτές έχουν ενσωματωθεί στην απόδειξη της ακόλουθης, βασικής “υπαρξιακής” πρότασης που εμφανίζεται στο Παράρτημα του ελληνικού βιβλίου με την εξής διατύπωση (βλ. σ.164 της έκδοσης του 1998):
“Αν \alpha ,\beta ,\gamma είναι τρία ευθύγραμμα τμήματα με \gamma < \beta < \alpha < \beta +\gamma, τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές \alpha ,\beta ,\gamma”. Στην απόδειξη της πρότασης χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα και μια γερή δόση αλγεβρικού λογισμού.
Με αυτό το “τρυκ”, η ζόρικη απόδειξη της ικανής συνθήκης R-\rho < \delta <R+\varrho για την ύπαρξη σημείου τομής δύο κύκλων (Θεώρημα ΙΙ, σ.121 του βιβλίου), ανάγεται ουσιαστικά σε μια υποσημείωση που παραπέμπει στην πρόταση του Παραρτήματος (η οποία εξασφαλίζει την ύπαρξη τριγώνου με πλευρές το διακεντρικό τμήμα \delta και τις ακτίνες R και \rho).
Όπως γίνεται φανερό, το σύστημα αξιωμάτων του Pogorelov επιτρέπει μια “ταχεία” απόδειξη της ικανής συνθήκης τομής δύο κύκλων (σε σχέση με αυτήν που υπάρχει π.χ. στο βιβλίο του Κανέλλου), αλλά με τίμημα μια πρόωρη και έντονη “αλγεβροποίηση” μεγάλων τμημάτων της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οπότε οδηγούμαστε στο εύλογο ερώτημα:
Μήπως, εδώ που φτάσαμε, είναι προτιμότερο να αναγάγουμε το γεωμετρικό πρόβλημα της συνθήκης τομής δύο κύκλων, στο αλγεβρικό πρόβλημα της συνθήκης επίλυσης του συστήματος των αντίστοιχων εξισώσεων; Το μόνο άλλωστε που χρειάζεται είναι ο τύπος της Ευκλείδειας απόστασης δύο σημείων (που υπάρχει στο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου) και η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Με τον τρόπο αυτό θα απαλλαγούμε και από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα!
(Καλούνται οι δεινοί γεωμέτρες του mathematica αλλά και οι γνωστοί “αντιφρονούντες” να λάβουν θέση).

Γιάννης Θωμαΐδης


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4688
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 24, 2020 11:07 pm

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε:
Σάβ Οκτ 24, 2020 8:20 pm

Μήπως, εδώ που φτάσαμε, είναι προτιμότερο να αναγάγουμε το γεωμετρικό πρόβλημα της συνθήκης τομής δύο κύκλων, στο αλγεβρικό πρόβλημα της συνθήκης επίλυσης του συστήματος των αντίστοιχων εξισώσεων; Το μόνο άλλωστε που χρειάζεται είναι ο τύπος της Ευκλείδειας απόστασης δύο σημείων (που υπάρχει στο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου) και η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Με τον τρόπο αυτό θα απαλλαγούμε και από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα!
(Καλούνται οι δεινοί γεωμέτρες του mathematica αλλά και οι γνωστοί “αντιφρονούντες” να λάβουν θέση).

Γιάννης Θωμαΐδης
Καλησπέρα σε όλους. Υποθέτω ότι ο Γιάννης εννοεί μια τέτοια αντιμετώπιση:

Έστω οι κύκλοι (K, R), (L, r) με R \ge r και KL=d.

Θα δείξουμε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τέμνονται οι κύκλοι είναι R-r<d<R+r.

24-10-2020 Γεωμετρία.png
24-10-2020 Γεωμετρία.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές


Έστω C_1 : K(0,0), C_2 : L(d,0), d>0, οπότε οι κύκλοι έχουν εξισώσεις αντίστοιχα

 \displaystyle \begin{array}{l} 
{C_1}:\;\;{x^2} + {y^2} = {R^2}\\ 
{C_2}:\;\;{\left( {x - d} \right)^2} + {y^2} = {r^2} 
\end{array}

To σύστημα  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2} + {y^2} = {R^2}\\ 
{\left( {x - d} \right)^2} + {y^2} = {r^2} 
\end{array} \right. έχει λύσεις

 \displaystyle \left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{R^2} - {r^2} + {d^2}}}{{2d}},\; \pm \frac{{\sqrt {4{d^2}{R^2} - {{\left( {{R^2} - {r^2} + {d^2}} \right)}^2}} }}{{2d}}} \right) αν και μόνο αν ισχύει

 \displaystyle 4{d^2}{R^2} \ge {\left( {{R^2} - {r^2} + {d^2}} \right)^2} \Leftrightarrow 2dR \ge {R^2} - {r^2} + {d^2} \Leftrightarrow {r^2} \ge {\left( {R - d} \right)^2} \Leftrightarrow r \ge \left| {R - d} \right|
 \displaystyle  \Leftrightarrow  - r \le d - R \le r \Leftrightarrow R - r \le d \le R + r

Αν και μόνο αν η ανίσωση ισχύει απολύτως, έχουμε ζεύγος λύσεων, άρα τομή των δύο κύκλων.

edit: (Συμπλήρωσα την περίπτωση επαφής):

d = R+r, τότε y=0 και  \displaystyle χ= \frac{{{R^2} - {r^2} + {{\left( {R + r} \right)}^2}}}{{2\left( {R + r} \right)}} = R, οπότε εφάπτονται εξωτερικά στο A(R,0),
αφού το σημείο επαφής είναι εσωτερικό του KL.

Αν d = R-r, τότε y=0 και \displaystyle x = \frac{{{R^2} - {r^2} + {{\left( {R - r} \right)}^2}}}{{2\left( {R - r} \right)}} = R, οπότε εφάπτονται εσωτερικά στο A(R,0),
αφού το L(d, 0)είναι εσωτερικό του KA.

Τα σχήματα, στις δύο περιπτώσεις ισότητας, μπορείτε να τα πλάσετε με τη φαντασία σας, εφόσον έχουμε απαλλαγεί από την υποχρέωση να σχεδιάζουμε το αντίστοιχο σχήμα. :D


Γιάννης Θωμαΐδης
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Θωμαΐδης » Δευ Οκτ 26, 2020 12:22 pm

Ο Γιώργος Ρίζος (ο πρώτος “αντιφρονών” που είχα υπόψη στο προηγούμενο μήνυμα), έπιασε το νόημα και εξώθησε συνοπτικά και υποδειγματικά το πρόβλημα της σχετικής θέσης δύο κύκλων ως την ακραία αλγεβροποίηση (το σχήμα που παραθέτει, όπως σημειώνει σκωπτικά και ο ίδιος, είναι καθαρά διακοσμητικό).
Αυτή την αλγεβροποίηση (και ακόμη χειρότερα σχέδια…) είχαν κατά νου όσοι μαθηματικοί εκφώνησαν και προώθησαν, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, την περιβόητη φράση “Να φύγει ο Ευκλείδης από τα σχολικά Μαθηματικά”.
Η διεθνής μεταρρύθμιση των λεγόμενων «Νέων Μαθηματικών» εφαρμόστηκε στην Ελλάδα σε μαζική κλίμακα τη διετία 1968-69, με την κυκλοφορία νέων και ιδιαίτερα απαιτητικών από πλευράς περιεχομένου βιβλίων, για όλες τις τάξεις του εξατάξιου (τότε) Γυμνασίου. Όσοι ήταν μαθητές της τρίτης Γυμνασίου (όπως ο υπογράφων) βίωσαν, στο μέσο της σχολικής χρονιάς, τη βίαιη μετάβαση από την παραδοσιακή «Θεωρητική Γεωμετρία» του Νικολάου στο νέο βιβλίο Γεωμετρίας του Ιωαννίδη. Το βιβλίο αυτό, που υιοθετούσε μια «σκληρή» εκδοχή της αξιωματικής θεμελίωσης του Hilbert για σχολική χρήση, ενισχυμένη με χρήση προσανατολισμού των σχημάτων, διανυσμάτων κ.λπ., έχει ένα θλιβερό “προνόμιο”: Αποσύρθηκε εσπευσμένα για να τροποποιηθεί – ουσιαστικά να αποσυρθεί – επειδή οι διδάσκοντες συνάντησαν “ανυπερβλήτους δυσκολίας” (σύμφωνα με γραπτή αναφορά του τότε Γενικού Επιθεωρητή Μαθηματικών Ιωάννη Ταμβακλή).
Ενδιαφέρον για το ζήτημα που εξετάζουμε παρουσιάζει το ακόλουθο γεγονός. Επειδή στα σχολικά βιβλία δεν ήταν φυσικά δυνατό να εκτεθεί εξαρχής το πλήρες σύστημα αξιωμάτων του Hilbert, οι συγγραφείς τους υιοθέτησαν μια μεσοβέζικη λύση. Χρησιμοποιούσαν το αντίστοιχο αξίωμα κάθε φορά που ήταν απαραίτητο σε μια απόδειξη. Έτσι, στην περίπτωση της ικανής συνθήκης τομής δύο κύκλων, το σχετικό αξίωμα εμφανίζεται στο βιβλίο του Ιωαννίδη λίγο πριν από την απόδειξη (και μάλιστα εξειδικεύεται σε σημείωση μετά από αυτήν!). Επίσης το βιβλίο “Θεωρητική Γεωμετρία” των Δ. Παπαμιχαήλ και Α. Σκιαδά (διδάχθηκε στα σχολεία την περίοδο 1977-1989 και το ανέφερε παραπάνω ο Τηλέμαχος), στο οποίο χρησιμοποιείται μια ηπιότερη εκδοχή των αξιωμάτων του Hilbert, το κρίσιμο αξίωμα εμφανίζεται στη διάρκεια της απόδειξης ως υποσημείωση! Οπότε ο «ανήσυχος μαθητής» εκείνης της εποχής είχε κάθε λόγο να αναρωτηθεί: “Γιατί δεν δεχόμαστε ως αξίωμα την ίδια τη συνθήκη τομής δύο κύκλων;” Αν γνώριζε και λίγη ιστορία, θα μπορούσε να μας στριμώξει για τα καλά αναφέροντας ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης έκανε κάτι περισσότερο, αφού στα “Στοιχεία” παρακάμπτει το επίμαχο σημείο με μία σιωπή που μάλλον σημαίνει πολλά…
Αλλά ας επανέλθουμε στον «ανήσυχο μαθητή» του σήμερα, για χάρη του οποίου ξεκίνησε αυτό το νήμα. Τι έχουμε να προτείνουμε μεταξύ των ακραίων καταστάσεων της απόλυτης αξιωματικοποίησης, της απόλυτης εξάρτησης από την (ενισχυμένη και με λογισμικά) εποπτεία και της απόλυτης αλγεβροποίησης, ώστε να διατηρήσουμε ζωντανή τη μορφωτική παράδοση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αφήνω το ερώτημα ανοικτό, δίνοντας και μία μικρή υπόδειξη: Αξίζει να μελετήσουμε τον τρόπο που διαχειρίζονταν το ζήτημα των σχετικών θέσεων δύο κύκλων οι συγγραφείς των διδακτικών βιβλίων, πριν από την εισβολή της σύγχρονης αξιωματικής θεμελίωσης στα σχολικά Μαθηματικά. Τα περισσότερα από αυτά είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα «για τους ρομαντικούς της γεωμετρίας» που διαχειρίζεται ο Τάκης Χρονόπουλος.

Γιάννης Θωμαΐδης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης