Ισότητα γωνιών

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισότητα γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 07, 2020 8:59 pm

Ορθογώνιο  και ισοσκελές.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (4.49 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές
Δίδεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right).

Θεωρώ τα σημεία : D του AB με AD = \dfrac{2}{3}AB και E του AC με AE = \dfrac{1}{3}AB.

Δείξετε ότι : \widehat {EDA} = \widehat {CBE}.

Εκτός φακέλου δικαιούται μία ανάρτηση έκαστος , εντός φακέλου όσες θέλει .



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ισότητα γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Οκτ 07, 2020 9:36 pm

Καλησπέρα!

Θεωρώ σημείο Z στην πλευρά AB, ώστε EZ//BC.

Το τρίγωνο AEZ είναι και αυτό ορθογώνιο και ισοσκελές λόγω της προηγούμενης παραλληλίας.

Επομένως , από το πυθαγόρειο θεώρημα , EZ^2=2AZ^2.

Από το θεώρημα του Θαλή, έχω \dfrac{AZ}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}.

Συνδυάζοντας τις 2 τελευταίες σχέσεις παίρνω EZ^2=\dfrac{2AB^2}{9}.

Ισχύουν BZ=AB-AZ=\dfrac{2AB}{3}, DZ=BZ-BD=\dfrac{AB}{3}.

Επομένως BZ\cdot DZ=\dfrac{2AB^2}{9}=EZ^2\Leftrightarrow \dfrac{BZ}{EZ}=\dfrac{EZ}{DZ}.

Άρα , τα τρίγωνα DEZ, BEZ όμοια λόγω της τελευταίας αναλογίας και του γεγονότος ότι η\angle BZE κοινή γωνία.

Οπότε , από την ομοιότητα των τριγώνων έχω \angle ADE=\angle BEZ.

Όμως, \angle BEZ=\angle CBE, ως εντός εναλλάξ γωνίες.

Τελικά, συνδυάζοντας τις 2 τελευταίες σχέσεις παίρνω \angle ADE=\angle CBE.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1448
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισότητα γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 07, 2020 9:59 pm

Καλησπέρα!
Ας αφήσω Νίκο σε σένα να χαρακτηρίσεις την ακόλουθη ως εντός ή εκτός φακέλου..
Ισότητα γωνιών Ν.Φ.png
Ισότητα γωνιών Ν.Φ.png (50.1 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
Φέρω EZ \perp BC. Αν AE=BD=1 τότε AD=EC=2

και με Π.Θ BC=3\sqrt{2}..EZ=ZC=\sqrt{2}..BZ=2\sqrt{2} άρα tan\theta =\dfrac{1}{2}=tan\varphi \Rightarrow \theta =\varphi ως οξείες.

Φιλικά, Γιώργος.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1237
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ισότητα γωνιών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Οκτ 07, 2020 10:42 pm

40.png
40.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

Από την ισότητα των τριγώνων ADE, AMP έπεται ότι \varphi =\theta .


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ισότητα γωνιών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τετ Οκτ 07, 2020 11:12 pm

Ισότητα γωνιών.png
Ισότητα γωνιών.png (111.83 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές
Παρόμοια λύση με του κ.Μήτσιου.

Είναι \tan x = \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{(1/3)AC}{(2/3)AB}=\dfrac{1}{2}

Εστω N το συμμετρικό του B με κέντρο το A.Το τρίγωνο NCB ορθογώνιο και ισοσκελές αφού η διάμεσος του CA=\dfrac{BN}{2} είναι και ύψος.
To E είναι τότε το βαρύκεντρο του τριγώνου BCN αφού AE=\dfrac{1}{3}AC.

Αρα BM διάμεσος του BNC συνεπώς \tan y=\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{NC/2}{NC}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \tan x=\tan y \Rightarrow x=y


Καλό Καλοκαίρι!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα γωνιών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 08, 2020 6:38 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Οκτ 07, 2020 8:59 pm
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png

Δίδεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right).

Θεωρώ τα σημεία : D του AB με AD = \dfrac{2}{3}AB και E του AC με AE = \dfrac{1}{3}AB.

Δείξετε ότι : \widehat {EDA} = \widehat {CBE}.

Εκτός φακέλου δικαιούται μία ανάρτηση έκαστος , εντός φακέλου όσες θέλει .
Είναι DB=AE= \dfrac{b}{3} και με AM \bot BC \Rightarrow  \Rightarrow AM=MB .Ακόμη, \angle ABC=MAC=45^0

Έτσι,από την ισότητα των τριγώνων BDM,MAE \Rightarrow  \angle BDM= \angle AEM \Rightarrow ADME εγγράψιμο και \angle  \varphi =\angle y

Αλλά με CZ \bot BC \Rightarrow  \triangle BCZ ορθογώνιο ισοσκελές οπότε \angle EZC= \angle  EBC=\angle  theta =\angle  y και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Ισότητα γωνιών.png
Ισότητα γωνιών.png (19.37 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα γωνιών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 08, 2020 7:32 pm

Έστω AB=AC=3x.
Ισότητα γωνιών.Φ..png
Ισότητα γωνιών.Φ..png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές
\displaystyle \tan \varphi  = \frac{1}{2},\tan \omega  = \frac{1}{3},\tan \theta  = \tan (45^\circ  - \omega ) = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\varphi=\theta}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισότητα γωνιών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 08, 2020 8:24 pm

135^0.png
135^0.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης