Τρεις ίσοι κύκλοι

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τρεις ίσοι κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 10, 2020 11:31 pm

τρείς ίσοι κύκλοι.png
τρείς ίσοι κύκλοι.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Τρεις ίσοι κύκλοι : \left( {K,R} \right)\,\,,\,\,\left( {L,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,R} \right) διέρχονται από ένα σημείο A.

Αν B\,,\,\,C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D τα δεύτερα σημεία τομής τους , να προσδιορίσετε :

α) Το ορθόκεντρο του \vartriangle BCD και

β) Το περίκεντρο του \vartriangle KLM

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά με τεκμηρίωση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρεις ίσοι κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 11, 2020 10:07 am

Doloros έγραψε:
Δευ Αύγ 10, 2020 11:31 pm
τρείς ίσοι κύκλοι.png


Τρεις ίσοι κύκλοι : \left( {K,R} \right)\,\,,\,\,\left( {L,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,R} \right) διέρχονται από ένα σημείο A.

Αν B\,,\,\,C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D τα δεύτερα σημεία τομής τους , να προσδιορίσετε :

α) Το ορθόκεντρο του \vartriangle BCD και

β) Το περίκεντρο του \vartriangle KLM

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά με τεκμηρίωση.
3 ίσοι κύκλοι.png
3 ίσοι κύκλοι.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
Αφού οι κύκλοι είναι ίσοι τα AMBK, ALCK είναι ρόμβοι, οπότε οι διαγώνιοι τους είναι κάθετες και

διχοτομούνται, άρα το A είναι το περίκεντρο του KLM. Είναι ακόμα, \displaystyle MB|| = LC \Leftrightarrow ML|| = BC.

Ομοίως βρίσκουμε, \displaystyle MK|| = DC,KL|| = BD. Επομένως το A είναι και ορθόκεντρο του BCD.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2059
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρεις ίσοι κύκλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Αύγ 11, 2020 10:46 am

Doloros έγραψε:
Δευ Αύγ 10, 2020 11:31 pm
τρείς ίσοι κύκλοι.png


Τρεις ίσοι κύκλοι : \left( {K,R} \right)\,\,,\,\,\left( {L,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,R} \right) διέρχονται από ένα σημείο A.

Αν B\,,\,\,C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D τα δεύτερα σημεία τομής τους , να προσδιορίσετε :

α) Το ορθόκεντρο του \vartriangle BCD και

β) Το περίκεντρο του \vartriangle KLM

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά με τεκμηρίωση.

Αφού AK=AL=AM=R το A είναι το περίκεντρο του τριγώνου KLM

E,Z,H είναι μέσα των ML,KL,KM ,όπως και των AD,AC,AB

Έτσι, \dfrac{CD}{2} =//EZ=// \dfrac{KM}{2} , \Rightarrow CD//KM και όμοια KL//DB,ML//BC οπότε

CA \bot DB,BA \bot CD,DA \bot BC \Rightarrow A ορθόκεντρο του τριγώνου BCD
τρεις ίσοι κύκλοι.png
τρεις ίσοι κύκλοι.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες