Γωνιακή παραλληλία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γωνιακή παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 25, 2020 4:13 pm

Γωνιακή παραλληλία.png
Γωνιακή παραλληλία.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές
Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ABCD του σχήματος είναι τραπέζιο.

Όλες οι λύσεις δεκτές εντός και εκτός φακέλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γωνιακή παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:44 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 4:13 pm
Γωνιακή παραλληλία.png
Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ABCD του σχήματος είναι τραπέζιο.

Όλες οι λύσεις δεκτές εντός και εκτός φακέλου.
Γωνιακή παραλληλία.png
Γωνιακή παραλληλία.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές
Έστω D το σημείο τομής της εκ του C παραλλήλου προς την AB με τη διχοτόμο της γωνίας \angle ABC και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι \angle ADB={{10}^{0}}
Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο \vartriangle BEC προς το A
Από CD\parallel AB\Rightarrow \angle BDC=\angle ABD={{20}^{0}}=\angle CBD\Rightarrow CD=BC=CE:\left( 1 \right)
Επίσης από την παραλληλία προκύπτει ότι \angle ECD={{80}^{0}}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle EDC={{50}^{0}}:\left( 2 \right)
Από EB=EC,AB=AC\Rightarrow EA\bot BCκαι \angle AEC=\angle AEB={{30}^{0}} οπότε \angle KAC={{50}^{0}}=\angle EDC\Rightarrow \angle ADC=\angle AEC={{30}^{0}}\overset{\angle BDC={{20}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle BDA={{10}^{0}}και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνιακή παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 26, 2020 12:55 am

γωνιακή παραλληλία.png
γωνιακή παραλληλία.png (42.36 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Θεωρώ το συμμετρικό F του B ως προς την AD. Άμεσες συνέπειες :

\vartriangle AFB είναι ισόπλευρο και το DFB \to \left( {20^\circ ,80^\circ ,80^\circ } \right) .

Οι FA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA τέμνουν τις DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DF στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L και είναι το μεν \vartriangle AKL ισόπλευρο το δε τετράπλευρο ABCK εγγράψιμο

με KA = KC γιατί οι αντίστοιχες εγγεγραμμένες είναι από 20^\circ κάθε μια .

Δηλαδή KA = KL = KC. Τα τρίγωνα DKL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DKC είναι ίσα, το ζητούμενο έτσι φανερό .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνιακή παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 26, 2020 2:36 am

γωνιακή παραλληλία_oritzin_1.png
γωνιακή παραλληλία_oritzin_1.png (51.4 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
Γράφω τον κύκλο :\left( {A,B,D} \right) , κι έστω O το κέντρο του.

Επειδή οι εγγεγραμμένες είναι το μισό της αντίστοιχης επικέντρου προκύπτουν αβίαστα οι γωνίες του σχήματος

ειδικά δε η \widehat {OAC} = 100^\circ  - 80^\circ  = 20^\circ .

Τα τρίγωνα ABD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CAO είναι ίσα (\Pi  - \Gamma  - \Pi ) οπότε \widehat {COA} = 10^\circ τα υπόλοιπα απλά .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γωνιακή παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιούλ 26, 2020 9:57 am

PARALL.png
PARALL.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές
Εκτός φακέλου αλλά χωρίς προσθήκες στο σχήμα : Φέρω : CD\parallel BA , CD=CB και αρκεί να δείξω ότι : \theta=50^0.

Σύμφωνα με περίφημη εφαρμογή , αρκεί : x^2=a^2+ab . Αλλά είναι : x^2=a^2+b^2+2ab\cos80^0 .

Αρκεί επομένως : ab=b^2+2ab\cos80^0 , ή : a(1-2\cos80^0)=b . Αλλά από το τρίγωνο ABC , είναι :

a=2b\cos40^0 , δηλαδή θέλω : 2\cos40^0(1-2\cos80^0)=1 , το οποίο ισχύει ( αφήνεται ως άσκηση ! )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνιακή παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 26, 2020 12:39 pm

Κατασκευή

Έστω το \vartriangle ABC \to \left( {100^\circ ,40^\circ ,40^\circ } \right) και ο κύκλος \left( {A,a} \right) που τέμνει, στο S, την προέκταση της AB προς το B.

Είναι γνωστό ( θρυλική άσκηση ) ότι \widehat {{S_{}}} = 30^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}} = 10^\circ . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο , ASCD και φέρνω τη BD.
γωνιακή παραλληλία_oritzin_2.png
γωνιακή παραλληλία_oritzin_2.png (33.59 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Επειδή BC = AS = CD = a, το ισοσκελές \vartriangle CBD έχει γωνία στην κορυφή C ίση με 140^\circ .

Άρα οι παρά τη βάση του θα είναι από 20^\circ και προφανώς :

α) η BD διχοτομεί την \widehat {CBA} και

β) \widehat {{\omega _{}}} = 30^\circ  - 20^\circ  = 10^\circ

Το τετράπλευρο ABCD εκπληρώνει τις προδιαγραφές της εκφώνησης και επί πλέον είναι τραπέζιο.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνιακή παραλληλία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιούλ 26, 2020 12:52 pm

Καλό μεσημέρι! Με ανοιχτή την είσοδο και στην τριγωνομετρία..
Γωνιακή παραλληλία(1).png
Γωνιακή παραλληλία(1).png (98.11 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές
Στο σχήμα είναι CD=BC=a και CD \parallel AB. Αρκεί να βρούμε τις γωνίες \chi ,\omega . Με τον Νόμο ημιτόνων έχουμε:

Στο τρίγωνο BAC είναι \dfrac{a}{b}=\dfrac{\eta \mu 100^{0}}{\eta \mu 40^{0}}= \dfrac{2\eta \mu 50^{0}\sigma \upsilon \nu 50^{0}}{\eta \mu 40^{0}}=2\eta \mu 50^{0}=\dfrac{\eta \mu 50^{0}}{\eta \mu 30^{0}}

και στο τρίγωνο CAD παίρνουμε \dfrac{a}{b}=\dfrac{\eta \mu \chi }{\eta \mu \omega } άρα \dfrac{\eta \mu \chi }{\eta \mu \omega }=\dfrac{\eta \mu 50^{0}}{\eta \mu 30^{0}}

ενώ \chi +\omega =80^{0}=50^{0}+30^{0}. Συνεπώς όπως κι΄ΕΔΩ προκύπτει \chi=50^{0}...\omega =30^{0}.

Τα λοιπά είναι φανερά. Φιλικά, Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης