Τρι-γωνία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρι-γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 24, 2020 6:45 pm

Τρι-γωνία.png
Τρι-γωνία.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές
\bigstar Το ABCD είναι τραπέζιο με \displaystyle \widehat B = \widehat C = 90^\circ και έστω E, F οι προβολές των κορυφών A, C στις DC, AD

αντίστοιχα. Αν οι AE, CF τέμνονται στο H και \displaystyle B\widehat EC = \omega ,F\widehat CD = \varphi, να εκφράσετε τη γωνία \displaystyle F\widehat DH = \theta

συναρτήσει των \displaystyle \omega ,\varphi .



Λέξεις Κλειδιά:
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2016
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Τρι-γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Ιουν 25, 2020 8:04 am

Στο σχήμα του Γιώργου.
Αν φέρουμε την διαγώνιο AC το σημείο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ACD
Αν θέσουμε τις γωνίες DAE=y και HAC=xέχουμε
\theta +y+x=90^{o}
x+\omega= 90^{o}
\varphi =y
Άρα τελικά \theta = \omega -\varphi


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Τρι-γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Πέμ Ιουν 25, 2020 9:36 am

Συγγνώμη για την απροσεξία! Θα προσπαθήσω αν βρω χρόνο να το ξανακοιτάξω. Προς το παρόν σβήνω τη συγκεκριμένη λύση.
τελευταία επεξεργασία από Philip.kal σε Πέμ Ιουν 25, 2020 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


kfd
Δημοσιεύσεις: 132
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Τρι-γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Πέμ Ιουν 25, 2020 12:24 pm

Το ABED δεν είναι παραλληλόγραμμο, αλλά τραπέζιο.


Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Τρι-γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Πέμ Ιουν 25, 2020 12:34 pm

Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση! Μόλις το διόρθωσα.


kfd
Δημοσιεύσεις: 132
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Τρι-γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Πέμ Ιουν 25, 2020 12:40 pm

Ψάξε, αν θέλεις, τι απ' αυτά που γράφεις δεν ισχύει κατ' ανάγκη (πχ Ε μέσο DC κι όχι μόνο).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρι-γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 25, 2020 2:01 pm

Philip.kal έγραψε:
Πέμ Ιουν 25, 2020 9:36 am
Καλημέρα,

Σας παραθέτω και εγώ τη λύση μου.

(α) Στο τρίγωνο CDF έχουμε ότι: F\widehat{D}C+D\widehat{F}C+F\widehat{C}D=180^{\circ}\Leftrightarrow F\widehat{D}C+90^{\circ}+\varphi =180^{\circ}\Leftrightarrow F\widehat{D}C+\varphi =90^{\circ}\Leftrightarrow F\widehat{D}C=90^{\circ}-\varphi

Όμως είναι: F\widehat{D}C=F\widehat{D}H+H\widehat{D}C\Leftrightarrow F\widehat{D}C=\theta +H\widehat{D}C

Οπότε: \theta +H\widehat{D}C=90^{\circ}-\varphi \Leftrightarrow \theta =90^{\circ}-\varphi -H\widehat{D}C (1)

Άρα, αρκεί να εκφράσουμε τη γωνία H\widehat{D}C συναρτήσει της \varphi.

Oι ευθείες AB και DE είναι παράλληλες, επειδή οι γωνίες A\widehat{E}D και B\widehat{A}E είναι ίσες ως εντός και εναλλάξ (είναι: B\widehat{A}E=90^{\circ}, αφού το ABCE είναι ορθογώνιο).

Επομένως, ισχύει: AB=DE και κατά συνέπεια: DE=EC....
Σου έστειλα π.μ στις 10:39 και σου είπα ότι το ABED δεν είναι παραλληλόγραμμο και παρόλα αυτά εξακολουθείς να γράφεις ότι AB=DE. Ρίξε μια ματιά στο παρακάτω σχήμα. Σου φαίνονται για ίσα;
Τρι-γωνία.β.png
Τρι-γωνία.β.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρι-γωνία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 25, 2020 7:24 pm

Κάτι παρόμοιο με το Χρήστο.

Ας είναι K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T οι τομές της ευθείας DH με τις ευθείες AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB.

Στο \vartriangle ADC το σημείο H είναι ορθόκεντρο , προφανές δε ‘ότι τα τετράπλευρα :

AFEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AECB είναι εγγράψιμα. Έτσι θα έχω:
τρι_γωνία.png
τρι_γωνία.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\phi _1}} \hfill \\ 
  \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. ενώ \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} (οξείες με πλευρές κάθετες)

Στο \vartriangle AHD η γωνία, \widehat {{\omega _2}} είναι εξωτερική οπότε :

\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _1}} \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} - \widehat {{\phi _{}}}}


Δείτε αυτό ( χωρίς λόγια)
τρι_γωνία_χωρίς λόγια.png
τρι_γωνία_χωρίς λόγια.png (26.36 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες