Μία ορθή και μία σχέση

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μία ορθή και μία σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 22, 2020 8:05 pm

O είναι το περίκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC, \widehat A\ne 90^\circ) και D είναι το

συμμετρικό του O ως προς την AC. Η παράλληλη από το D στην AB τέμνει την BC στο E.

α) Να δείξετε ότι D\widehat OE=90^\circ.

β) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες \widehat A και O\widehat ED.


Δίνεται ένα 24ωρο στους μαθητές. Το σχήμα και πάλι αποτελεί μέρος της λύσης.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Μία ορθή και μία σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Παρ Απρ 24, 2020 10:25 pm

α)
'Εστω ότι \displaystyle \angle BAC=2x, x>0. Απο υπόθεση το \displaystyle \triangle ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το  A και επειδή  \displaystyle AB//DE άρα \displaystyle \angle ABC = \angle ACB = \angle FEC

Αφού το σημείο O είναι το περίκεντρο του τριγώνου \triangle ABC, τότε η AO είναι η μεσοκάθετος της \displaystyle BC άρα και η διχοτόμος της γωνίας \angle BAC .

Τα ορθογώνια τρίγωνα \displaystyle \triangle AOL , \triangle ALD είναι ίσα(OL=LD, \displaystyle AL κοινή) οπότε AO=AD .

Ομοίως τα ορθογώνια τρίγωνα \triangle OLC , \triangle DLC είναι ίσα άρα \displaystyle OC=CD

Αλλά \displaystyle AO=OC ως ακτίνες του περίκυκλου του \displaystyle \triangle ABC συνεπώς \displaystyle AO=OC=AD=DC οπότε το τετράπλευρο \displaystyle ADCO είναι ρόμβος.

Από τα παραπάνω εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle \angle DCE = \angle FCE+\angle DCF=90^0 -x+x=90^0.

Το τετράπλευρο \displaystyle ODCE είναι εγγράψιμο γιατί μία πλευρά του η  OE φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπο ίσες γωνίες. Συνεπώς

\displaystyle \angle DOE + \angle DCE =180^0 \Rightarrow \angle DOE=90^0

β)
Αφου το τετράπλευρο \displaystyle ODCE είναι εγγράψιμο άρα \displaystyle \angle OED=\angle DCO =2x. 'Αρα \displaystyle \angle OED=\angle BAC


Μία ορθή και μία σχέση.png
Μία ορθή και μία σχέση.png (117.52 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Μία ορθή και μία σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Απρ 25, 2020 2:37 pm

Καλησπέρα. Αυτά που έγραψα στο προηγούμενο πόστ ισχύουν αν η γωνία \angle BAC είναι οξεία. Αν είναι αμβλεία τότε :

α)
Με παρόμοιο τρόπο οπως στο προηγούμενο πόστ βγαίνει ότι το τετράπλευρό DCOE είναι εγγράψιμο οπότε τώρα

\angle DOE =\angle DCE =90^0 ως εγγεγραμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

β)
Αφου το τετράπλευρο DCOE είναι εγγράψιμο άρα \displaystyle \angle OED+\angle DCO =180^0 \Rightarrow \angle OED = 180^0-2x=180^0-\angle BAC. Συνεπώς σε αυτή την περίπτωση οι γωνίες είναι παραπληρωματικές.


Μία ορθή και μία σχέση2.png
Μία ορθή και μία σχέση2.png (221.61 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης