Γωνίες τριγώνου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Γωνίες τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm

βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png
βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Γωνίες τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png
Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Καλησπέρα! :)

Φέρνω, CQ \perp AM, οπότε το \vartriangle CMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα CQ=CM/\sqrt{2}.

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η CA εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle MAB, οπότε CA^2=CM \cdot CB, άρα CA=CM \sqrt{2}=2CQ.

Συνεπώς CA=2CQ, άρα \angle CAQ=30^\circ, δηλαδή \angle B=30^\circ, και εύκολα έπεται ότι \angle C=15^\circ και \angle A=135^\circ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνίες τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 05, 2020 10:50 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Καλησπέρα! :)

Φέρνω, CQ \perp AM, οπότε το \vartriangle CMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα CQ=CM/\sqrt{2}.

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η CA εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle MAB, οπότε CA^2=CM \cdot CB, άρα CA=CM \sqrt{2}=2CQ.

Συνεπώς CA=2CQ, άρα \angle CAQ=30^\circ, δηλαδή \angle B=30^\circ, και εύκολα έπεται ότι \angle C=15^\circ και \angle A=135^\circ.
Ορέστη καλησπέρα . Ευχαριστώ για τη λύση . Αναμένω πάντως και λύση εντός φακέλου ( Έτσι μου το έδωσαν και μου απαίτησαν να το λύσω )

Κάτι ακόμα. Είσαι γνωστός τοις πάσι και σημείο αναφοράς της συντριπτικής πλειοψηφίας των δυνατών μαθητών στα μαθηματικά.

Θα σε παρακαλούσα στα θέματα Γεωμετρίας- αφού μπορείς και ξέρεις - να κάνεις σχήμα.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Γωνίες τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 05, 2020 11:25 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 10:50 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Καλησπέρα! :)

Φέρνω, CQ \perp AM, οπότε το \vartriangle CMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα CQ=CM/\sqrt{2}.

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η CA εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle MAB, οπότε CA^2=CM \cdot CB, άρα CA=CM \sqrt{2}=2CQ.

Συνεπώς CA=2CQ, άρα \angle CAQ=30^\circ, δηλαδή \angle B=30^\circ, και εύκολα έπεται ότι \angle C=15^\circ και \angle A=135^\circ.
Ορέστη καλησπέρα . Ευχαριστώ για τη λύση . Αναμένω πάντως και λύση εντός φακέλου ( Έτσι μου το έδωσαν και μου απαίτησαν να το λύσω )

Κάτι ακόμα. Είσαι γνωστός τοις πάσι και σημείο αναφοράς της συντριπτικής πλειοψηφίας των δυνατών μαθητών στα μαθηματικά.

Θα σε παρακαλούσα στα θέματα Γεωμετρίας- αφού μπορείς και ξέρεις - να κάνεις σχήμα.
κ. Νίκο καλησπέρα.

Φαινομενικά έχετε δίκιο. Μην ξεχνάτε όμως, ότι εμείς οι μαθητές έχουμε αρκετό φόρτο εργασίας (παρόλο που δεν πηγαίνουμε σχολείο), και πολλές φορές δεν προλαβαίνουμε να ''τελειοποιήσουμε μία άσκηση'', άλλα μας τρώει η περιέργεια και τη δημοσιεύουμε, λόγω Μαθηματικής τρέλας!

Στο :logo: βέβαια γίνονται πολλές παρατυπίες, από Μαθηματικούς (άλλοι δεν βάζουν σχήματα, άλλοι δίνουν τηλεγραφικές απαντήσεις, άλλοι παραβιάζουν τα διάφορα χρονικά όρια [να πω εδώ ότι σε διάφορες ασκήσεις που υπόκεινται σε χρονικούς περιορισμούς απαντήσεις από Μαθηματικούς σε μορφή απόκρυψης και παράθεσης της απάντησης ή της λύσης απλά καταστρέφουν την άσκηση - ποιος δεν θα δει την απόκρυψη;] κτλ) και δεν έχω δει να τους γίνονται οι ανάλογες συστάσεις. Φαίνεται οι συστάσεις προορίζονται μόνο για τους μικρούς :? ...

Επισημαίνω ότι σύμφωνα με τον κανονισμό του :logo:, δεν είμαι παράτυπος, γιατί κάποτε που ρώτησα κάποιον Διαχειριστή του :logo:, προτείνοντάς του κάτι, μου απάντησε ότι ο καθένας ''λύνει ό,τι μπορεί στο :logo:, και δεν μπορεί κάποιος να αναγκάσει κάποιον να κάνει κάτι επειδή το θέλει αυτός'' !!


Τέλος, μιας και η επισήμανσή σας αφορά μόνο εμένα, θα μπορούσε να γίνει με Π.Μ. και να μην μιλάμε για πράγματα που δεν ενδιαφέρουν άλλους.

Ορέστης.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γωνίες τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 11:28 pm

Αποσύρω την λύση μου γιατί έχει λάθος. Όταν βρώ χρόνο θα ερευνήσω για το εαν σώζεται.
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Δευ Απρ 06, 2020 4:06 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνίες τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 11:31 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Αφού μπήκε εντός φακέλου βάζω μία (απαίσια βέβαια :lol: ) τριγωνομετρική.
Από ν.ημιτόνων στα \rm ABM,AMC έχω
\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{\sin \angle B}{\sin (135-\angle B)} & \\ &\rm \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{\sin \left ( 45-\angle B \right )}{\sin\angle B} & \end{matrix}\right. οπότε έχω να λύσω την \rm \dfrac{\sin x}{\sin \left ( 135-x \right )}=\dfrac{\sin\left ( 45-x \right )}{sin x}\Leftrightarrow \sin^2x=sin(45-x)\sin(90+45-x)=sinx cos\left ( x-45 \right )=
\rm =\dfrac{\sin \left ( 90-2x \right )}{2}\Leftrightarrow 2\sin^2x=cos(2x)=1-2\sin^2x\Leftrightarrow 4\sin^2x=1\Leftrightarrow \sin x=\pm \dfrac{1}{2}.
Από εδώ \rm \angle B=30^{\circ} και αβίαστα έχουμε τις άλλες γωνιές.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνίες τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 06, 2020 12:46 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Με E συμμετρικό του C ως προς BA θα είναι \triangle AEC ισοσκελές-ορθογώνιο

\Rightarrow  AECM εγγράψιμο ,άρα EM \bot BC  \Rightarrow EB=EC

Είναι, DM=AD= \dfrac{EC}{2}= \dfrac{BC}{2}   \Rightarrow  \triangle EBC ισόπλευρο  \Rightarrow\theta =30^0
Γωνίες τριγώνου.png
Γωνίες τριγώνου.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Γωνίες τριγώνου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 06, 2020 12:24 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Καλημέρα

Εστω AM=KM,AL\perp BC

Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο AML
\upsilon _{a}=\dfrac{\mu _{a}\sqrt{2}}{2},(1),

Τα τρίγωνα MKC,AKC είναι όμοια γιατί \hat{MCK}=\hat{KAC}=\theta ,\hat{K} κοινή γωνία Αρα \hat{ACK}=45^{0}\Rightarrow \hat{BAC}=135^{0},\dfrac{\mu _{a}}{c}=\dfrac{c}{2\mu _{a}}=\dfrac{a}{2b}\Rightarrow \dfrac{c}{2}=\upsilon _{_{a}},

     \hat{B}=30^{0},\hat{C}=15^{0}
Συνημμένα
Γωνίες τριγώνου.png
Γωνίες τριγώνου.png (29.78 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνίες τριγώνου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 06, 2020 5:52 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο \vartriangle ABC, η AM είναι διάμεσος και \widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}.

Να βρείτε τις γωνίες του \vartriangle ABC
Τα τρίγωνα ABC, AMC έχουν M\widehat AC=\widehat B=\theta και την \widehat C κοινή, άρα είναι ισογώνια και \boxed{\widehat A=A\widehat MC=135^\circ}
Γωνίες τριγώνου.Φ.png
Γωνίες τριγώνου.Φ.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Θεωρώ σημείο N του επιπέδου ώστε, N\widehat BA=\theta και N\widehat CA=\widehat C. Άρα το A είναι έγκεντρο του τριγώνου NBC κι

επειδή B\widehat AC=135^\circ, θα είναι B\widehat NC=90^\circ και NA διχοτόμος της ορθής γωνίας. Εύκολα τώρα το NAMC είναι

εγγράψιμο, AM=AN και NB=BM=MN, οπότε το NBM είναι ισόπλευρο. Άρα \boxed{\widehat B=30^\circ} και \boxed{\widehat C=15^\circ}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης