Γεωμετρία από Κίνα.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Γεωμετρία από Κίνα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Μαρ 24, 2020 10:16 pm

17.png
17.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7037
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 25, 2020 4:02 am

Απο Κίνα.png
Απο Κίνα.png (59 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

43°-13°+9°=39°

Πλήρης λύση


α)
Απο Κίνα_a.png
Απο Κίνα_a.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Γράφω το κύκλο του τριγώνου ABC και ας είναι K το κέντρο του .

Επειδή \widehat {ABC} = 64^\circ  + 86^\circ  = 120^\circ αναγκαστικά \widehat {AKC} = 60^\circ και το τρίγωνο AKC

είναι ισόπλευρο και \widehat {AKB} = 2\widehat {BCA} = 2 \cdot 17^\circ  = 34^\circ  = \widehat {ACD}.

β)
Απο Κίνα_b.png
Απο Κίνα_b.png (34.69 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Ας είναι τώρα S το σημείο τομής των BK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC. Επειδή \widehat {AKC} = \widehat {ACK} = 60^\circ

αναγκαστικά το τρίγωνο SKC είναι ισοσκελές με κορυφή το S και η AS

μεσοκάθετη στο KC με άμεση συνέπεια η

\widehat {SAC} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {SAB} = 30^\circ  + 13^\circ  = 43^\circ  = \widehat {BDS} και άρα το τετράπλευρο ADSB είναι εγγράψιμο .

γ)
Απο Κίνα_c.png
Απο Κίνα_c.png (58.65 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου KBC \to \left( {26^\circ ,77^\circ ,77^\circ } \right) θα είναι

\widehat {DBK} = 86^\circ  - 77^\circ  = 9^\circ και λόγω του εγραψίμου τετραπλεύρου ADSB

θα είναι και \widehat {DAS} = 9^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat {DAC} = 9^\circ  + 30^\circ  = 39^\circ }.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7037
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 25, 2020 1:57 pm

Δεν ξέρω πότε την έχουν δημοσιεύσει οι Κινέζοι.

Στο ίδιο πνεύμα υπάρχει άσκηση στο βιβλίο (1987) Γεωμετρίας ολυμπιάδων του Κοντογιάννη αλλά στη λύση του υπάρχει τυπογραφικό λάθος .

Μετά ο πολυγραφότατος, αγαπητός τοις πάσι, φίλος Μπάμπης Στεργίου, την συμπεριέλαβε στο βιβλίο του Γεωμετρία

1 για διαγωνισμούς( σελίδα 606) και μου έκανε την τιμή ( δεν γνωριζόμαστε τότε ) να συμπεριλάβει στο βιβλίο του αυτό, μια λύση που του έστειλα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1773
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 26, 2020 3:57 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 10:16 pm
17.png


Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .

Ο περίκυκλος του \triangle ABD τέμνει την AC στο Z και \angle ZDB=13^0 άρα \angle ZDC=30^0

Επειδή  \angle B_{ \varepsilon  \xi } =30^0 \Rightarrow DBKC εγγράψιμο και ο περίκυκλός του τέμνει την AC στο E

Η διχοτόμος της \angle ACD=34^0 τέμνει την KD στο I που είναι έκκεντρο του \triangle ECD

Όμως \angle BED=129^0 άρα \angle DEI= \angle IEC= \angle CEB=43^0 και τα τρίγωνα

ABC,EIC είναι συμμετρικά ως προς την EC

Επειδή \angle CIK=47^0 \Rightarrow  \angle ZBC=47^0 .Άρα \angle  \theta =39^0
Κίνα.png
Κίνα.png (54.17 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης