Πληθώρα ημικυκλίων

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πληθώρα ημικυκλίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 09, 2019 1:14 pm

Πληθώρα  ημικυκλίων.png
Πληθώρα ημικυκλίων.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
Το σημείο S διαιρεί την διάμετρο AB ενός ημικυκλίου σε δύο άνισα τμήματα AS και SB ,

με διαμέτρους τα οποία , γράφω νέα ημικύκλια εκατέρωθεν της AB . Τμήμα PT έχει

τα άκρα του στα δύο αυτά ημικύκλια και μεταβάλλεται αλλά πάντα διερχόμενο από το S .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος PT .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 09, 2019 1:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 1:14 pm
Πληθώρα ημικυκλίων.pngΤο σημείο S διαιρεί την διάμετρο AB ενός ημικυκλίου σε δύο άνισα τμήματα AS και SB ,

με διαμέτρους τα οποία , γράφω νέα ημικύκλια εκατέρωθεν της AB . Τμήμα PT έχει

τα άκρα του στα δύο αυτά ημικύκλια και μεταβάλλεται αλλά πάντα διερχόμενο από το S .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος PT .
Αν K το μέσο του AB
τότε λόγω του τραπεζίου APBT η MKείναι κάθετη στην PT.
Ετσι \angle SMK=\frac{\pi }{2}
οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι ημικύκλιο διαμέτρου SK.
Δεν μπορώ να καταλάβω το άλλο ημικύκλιο τι ρόλο παίζει.Ισως για να είναι πολλά.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1399
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Οκτ 10, 2019 10:47 pm

Θανάση και Σταύριο,
υποθέτω ότι θα "είδατε π.χ. μέσω ενός λογισμικού, ότι αν η ευθεία PT τέμνει το ημικύκλιο AB σε σε ένα σημείο K,
τότε το μέσον του τμήματος PK κινείται σε έναν γεωμετρικό τόπο που μάλλον δεν είναι εύκολο να προσεγγιστεί με γνώσεις Α΄Λυκείου.
Πάντως είναι είναι ενδιαφέρον θέμα. Έτσι, αποκτά νόημα και το ερώτημα που θέτει ο Σταύρος, τι γυρεύει στο "σενάριο" το μεγάλο ημικύκλιο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 11, 2019 7:33 am

Πληθώρα  ημικυκλίων  συμπλ..png
Πληθώρα ημικυκλίων συμπλ..png (18.23 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Σπουδαία η παρατήρηση του Ανδρέα . Το λογισμικό πάντως δίνει ως γεωμετρικό τόπο του μέσου N

του τμήματος PK , ένα τόξο του κύκλου (Q,QO) , ( Q μέσο της ακτίνας AO ) . Ενδιαφέρον !

Το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει αν R=2r και όχι γενικότερα , όπως διαπιστώνει ο Γ. Βισβίκης :arrow:
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Οκτ 11, 2019 10:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Οκτ 11, 2019 9:31 am

Καλημέρα σε όλους. Μια προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία.

11-10-2019 Γεωμετρία.jpg
11-10-2019 Γεωμετρία.jpg (39.78 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Έστω S(0,0), A(a, 0), B(b, 0), a<0<b, a+b \neq 0 και ευθεία y= lx, l \geq 0.

Tότε τα δύο ημικύκλια έχουν εξισώσεις

 \displaystyle {\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{{a^2}}}{4},\;\;y \le 0\;\;\;\; \wedge {\left( {x - \frac{b}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{{b^2}}}{4},\;\;y \ge 0\;\;

Tα σημεία τομής της ευθείας με τα ημικύκλια είναι

 \displaystyle P\left( {\frac{a}{{{l^2} + 1}},\;\frac{{la}}{{{l^2} + 1}}} \right)\;\; \wedge \;\;T\left( {\frac{b}{{{l^2} + 1}},\;\frac{{lb}}{{{l^2} + 1}}} \right)

To μέσο του PT είναι  \displaystyle M\left( {\frac{{a + b}}{{2(1 + {l^2})}},\frac{{l(a + b)}}{{2(1 + {l^2})}}} \right) , με  \displaystyle l \ge 0 , το οποίο επαληθεύει την εξίσωση

 \displaystyle {x^2} - \frac{{a + b}}{2}x + {y^2} = 0 , οπότε κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου SO, στο θετικό ημιεπίπεδο, όπου O μέσο του AB.


edit: Είχα λανθασμένα υπολογίσει το τόξο κύκλου, αλλά μού επεσήμαναν το λάθος ο Θανάσης και ο Γιώργος, τους οποίους ευχαριστώ. Εννοείται ότι για τον εντοπισμό του Γεωμετρικού Τόπου έλαβα σοβαρά υπόψιν (στην ουσία κρυφοκοίταξα...) το γεωμετρικό συμπέρασμα του Σταύρου και απλώς το επαλήθευσα με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Παρ Οκτ 11, 2019 8:38 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 11, 2019 3:58 pm

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου SB=2AS=4r.
Γ.Τ με ημικύκλια.png
Γ.Τ με ημικύκλια.png (22.11 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Από το Θ. {\rm{Euler}} στο APBK: A{K^2} + K{B^2} + B{P^2} + P{A^2} = P{K^2} + A{B^2} + 4O{N^2}\Leftrightarrow

\displaystyle B{P^2} + P{A^2} = 4P{N^2} + 4O{N^2} = 4A{N^2} - 4A{P^2} + 4O{N^2} \Leftrightarrow \boxed{BP^2+5PA^2=4(AN^2+NO^2)} (1)

Από \displaystyle {\rm{Stewart}} στο APB: \displaystyle P{A^2}4r + P{B^2}2r = (4{r^2} - A{P^2})6r + 48{r^3} \Leftrightarrow \boxed{BP^2+5PA^2=36r^2} (2)

Από (1), (2), \boxed{AN^2+NO^2=9r^2=AO^2} Άρα το N κινείται σε κύκλο διαμέτρου AO=3r. Ο ζητούμενος τόπος είναι το τόξο \overset\frown{OG} αυτού του κύκλου.

Στη γενική περίπτωση, εικάζω ότι το N κινείται σε έλλειψη. Ανδρέα, μας άναψες φωτιές :lol:


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1399
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Πληθώρα ημικυκλίων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Οκτ 12, 2019 9:38 pm

Και δεν ξέρω πώς τη σβήνουν. Αν ο "πυροσβέστης" Κώστας Δόρτσιος βρει χρόνο, επειδή ολοκληρώνουμε και το 5ο τεύχος της ΜΕΛΕΤΗΣ,
θα ρίξει δύο-τρία μπουκάλια νερό. Νομίζω ότι αρκούν. :surfing:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης