Προφανής παραλληλία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Προφανής παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am

Προφανής παραλληλία.png
Προφανής παραλληλία.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB. Έστω C το συμμετρικό του A ως προς B.

Από το C φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα CP στο ημικύκλιο.

Αν O το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο OC.

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το P

β) Αν η χορδή AP προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο T και S το σημείο τομής των CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB δείξετε ότι , OS//AT

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 353
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Προφανής παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Αύγ 14, 2019 7:26 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png


Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB. Έστω C το συμμετρικό του A ως προς B.

Από το C φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα CP στο ημικύκλιο.

Αν O το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο OC.

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το P

β) Αν η χορδή AP προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο T και S το σημείο τομής των CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB δείξετε ότι , OS//AT

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.
α) \angle OPC=90^{\circ} άρα το P ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο OPTC είναι \angle TCO=\angle APO=\angle OAP άρα ATC ισοσκελές και αφού B μέσο του AC είναι TS\perp AC

\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

Capture.PNG
Capture.PNG (33.1 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Προφανής παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 15, 2019 12:47 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 7:26 pm
Doloros έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png


Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB. Έστω C το συμμετρικό του A ως προς B.

Από το C φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα CP στο ημικύκλιο.

Αν O το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο OC.

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το P

β) Αν η χορδή AP προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο T και S το σημείο τομής των CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB δείξετε ότι , OS//AT

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.
α) \angle OPC=90^{\circ} άρα το P ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο OPTC είναι \angle TCO=\angle APO=\angle OAP άρα ATC ισοσκελές και αφού B μέσο του AC είναι TS\perp AC

\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.


Προφανής παραλληλία.PNG
:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Προφανής παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 15, 2019 8:00 pm

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλη την ομάδα!! Μία εκτός φακέλου με αναλυτική! (Exω βάλει τον Οχ προς τα αριστερά).

Στο σχήμα του κ.Νίκου. 'Εστω \displaystyle B(0,0), BA=Bx,BT=By. 'Εστω \displaystyle O(m,0),m>0,A(2m,0),C(-2m,0).Ο ''μικρός" κύκλος έχει εξίσωση \displaystyle \boxed{ C_{1}:(x-m)^2+y^2=m^2}\Rightarrow x^2+y^2 = 2mx.

Εστω \displaystyle P(x,y), τότε ισχύει

\displaystyle \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{PC}=0 \Rightarrow ...  x =\frac{2m}{3} και επειδή \displaystyle P \in C_{1} βρίσκουμε \displaystyle y = \frac{2\sqrt{2}m}{3}. Αρα \displaystyle P(\frac{2m}{3}, \frac{2\sqrt{2}m}{3}). H ακτίνα του "μεγάλου" κύκλου είναι ίση με \displaystyle \frac{|{OC}|}{2}=\frac{3m}{2}}. Tο κέντρο του έχει συν/νες \displaystyle (-\frac{m}{2},0). Συνεπώς θα έχει εξίσωση \displaystyle \boxed{C_{2}:(x+\frac{m}{2})^2+y^2 = \frac{9m^2}{4}}.Αρα για το πρώτο ερώτημα πρέπει να δείξουμε ότι οι συν/νες του \displaystyle P επαληθεύουν τον κύκλο \displaystyle  C_{2}.Αρα

α) \displaystyle (\frac{2m}{3}+\frac{m}{2})^2 + \frac{8m^2}{9} = \frac{49m^2}{36}+ \frac{8m^2}{9} =..=  \frac{9m^2}{4} Για το δεύτερο ερώτημα.

β) Εστω \displaystyle PN \perp AC \Rightarrow N(\frac{2m}{3},0). Tα τρίγωνα \displaystyle \triangle PNC , \triangle SBC είναι όμοια άρα \displaystyle |SB| =| PN|\frac{|BC|}{|CN|} \Rightarrow... |SB| = \frac{m\sqrt{2}}{2} οπότε \displaystyle \tan \angle SOB = \frac{|BS|}{|OB|} = ...=\frac{\sqrt{2}}{2}
\displaystyle \tan \angle PAN = \frac{|PN|}{|AN|}=...=\frac{\sqrt{2}}{2}} συνεπώς \displaystyle AT//OS


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης