Προφανής παραλληλία

: Προφανής παραλληλία.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου

. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

Από το

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

στο ημικύκλιο.

Αν

το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο

.

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή

προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο

και

το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι , OS//AT

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Έστω το συμμετρικό του ως προς .

Από το φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο.

Αν το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο .

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο και το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι ,

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.

α) $\angle OPC=90^{\circ}$ άρα το

ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο OPTC

είναι $\angle TCO=\angle APO=\angle OAP$ άρα ATC

ισοσκελές και αφού

μέσο του

είναι $TS\perp AC$

$\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST$ και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

: Capture.PNG (33.1 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 7:26 pm

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Έστω το συμμετρικό του ως προς .

Από το φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο.

Αν το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο .

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο και το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι ,

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.
α) $\angle OPC=90^{\circ}$ άρα το ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο είναι $\angle TCO=\angle APO=\angle OAP$ άρα ισοσκελές και αφού μέσο του είναι $TS\perp AC$

$\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST$ και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

Προφανής παραλληλία.PNG

angvl

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλη την ομάδα!! Μία εκτός φακέλου με αναλυτική! (Exω βάλει τον Οχ προς τα αριστερά).

Στο σχήμα του κ.Νίκου. 'Εστω $\displaystyle B(0,0), BA=Bx,BT=By$ . 'Εστω $\displaystyle O(m,0),m>0,A(2m,0),C(-2m,0)$ .Ο ''μικρός" κύκλος έχει εξίσωση $\displaystyle \boxed{ C_{1}:(x-m)^2+y^2=m^2}\Rightarrow x^2+y^2 = 2mx$ .

Εστω $\displaystyle P(x,y)$ , τότε ισχύει

$\displaystyle \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{PC}=0 \Rightarrow ... x =\frac{2m}{3}$ και επειδή $\displaystyle P \in C_{1}$ βρίσκουμε $\displaystyle y = \frac{2\sqrt{2}m}{3}$ . Αρα $\displaystyle P(\frac{2m}{3}, \frac{2\sqrt{2}m}{3})$ . H ακτίνα του "μεγάλου" κύκλου είναι ίση με $\displaystyle \frac{|{OC}|}{2}=\frac{3m}{2}}$ . Tο κέντρο του έχει συν/νες $\displaystyle (-\frac{m}{2},0)$ . Συνεπώς θα έχει εξίσωση $\displaystyle \boxed{C_{2}:(x+\frac{m}{2})^2+y^2 = \frac{9m^2}{4}}$ .Αρα για το πρώτο ερώτημα πρέπει να δείξουμε ότι οι συν/νες του $\displaystyle P$ επαληθεύουν τον κύκλο $\displaystyle C_{2}$ .Αρα

α) $\displaystyle (\frac{2m}{3}+\frac{m}{2})^2 + \frac{8m^2}{9} = \frac{49m^2}{36}+ \frac{8m^2}{9} =..= \frac{9m^2}{4}$ Για το δεύτερο ερώτημα.

β) Εστω $\displaystyle PN \perp AC \Rightarrow N(\frac{2m}{3},0)$ . Tα τρίγωνα $\displaystyle \triangle PNC , \triangle SBC$ είναι όμοια άρα $\displaystyle |SB| =| PN|\frac{|BC|}{|CN|} \Rightarrow... |SB| = \frac{m\sqrt{2}}{2}$ οπότε $\displaystyle \tan \angle SOB = \frac{|BS|}{|OB|} = ...=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \tan \angle PAN = \frac{|PN|}{|AN|}=...=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ συνεπώς $\displaystyle AT//OS$

Προφανής παραλληλία

Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση