Εύρεση σημείου σε κύκλο
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Εύρεση σημείου σε κύκλο
Να βρεθεί σημείο του μεγάλου που για το μέσο, , της χορδής η να διχοτομεί τη γωνία ,
δεκτές όλες οι λύσεις .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Αύγ 15, 2019 11:35 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Ας είναι το σημείο τομης των εφαπτομένων στα και . Τότε αν η επανατεμνει τον κύκλο στο αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω το μέσο της και το σημείο τομής της εκ του περικέντρου , με την τότε αφού αρμονικό το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , άρα, η δέσμη είναι αρμονική . Όμως άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Τετ Αύγ 14, 2019 5:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Εδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη
Είναι γραμμένο το
2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.
Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.
Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.
Είναι γραμμένο το
2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.
Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.
Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Καλησπέρα! Μια απόπειρα με ευκλείδεια που γνωρίζω ότι είναι απο τα πιο αδύνατα σημεία μου!
τελευταία επεξεργασία από angvl σε Τετ Αύγ 14, 2019 11:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Καλό Καλοκαίρι!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Για τυχαία χορδή ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της , είναι κύκλος με διάμετρο , όπου το κέντρο του δοσμένου κύκλου. Πράγματι, έχουμε ( απόστημα της χορδής ) και τα σημεία είναι σταθερά.
Φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και έστω ότι τέμνει τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο στο σημείο . Έστω το αντιδιαμετρικό σημείο του αυτού του κύκλου, άρα και το μέσο του τόξου αυτού. Οπότε . Επίσης ισχύει . Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Άρα το σημείο με την παραπάνω κατασκευή μας δίνει την ζητούμενη ευθεία , που ορίζει το σημείο .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Αύγ 15, 2019 10:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την πολύ ωραία του λύση . Σχεδόν παρόμοια η δική μου.
Κατασκευή:
Γράφω το κύκλο κι έστω ο νότιος πόλος του ενώ προφανώς το είναι ο Βόρειος πόλος. Η ευθεία τέμνει ακόμα το αρχικό κύκλο στο .
Απόδειξη:
Επειδή . Επειδή ( βαίνει σε ημικύκλιο) το είναι μέσο της χορδής του κύκλου .
Διερεύνηση :
Προφανώς πάντα έχουμε μια και μοναδική λύση.
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Ας δούμε και μια τεκμηρίωση της σωστής άποψης του
Κατασκευή.
Έστω το κέντρο του κύκλου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα έστω ότι τέμνονται στο . Η τέμνει ακόμα το κύκλο στο , σημείο που ζητάμε .
Απόδειξη:
Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει την ευθεία στο .
Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η που διέρχεται από το και άρα ( ) η πολική του θα διέρχεται από το .
Όμως αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα η πολική του θα διέρχεται κι από το , δηλαδή είναι η .
Άμεσες συνέπειες :
1. , έστω δε το κοινό τους σημείο που προφανώς θα είναι το μέσο της χορδής .
2. Αν οι τέμνονται στο τότε η δέσμη, είναι αρμονική κι αφού , η είναι διχοτόμος του .
Κατασκευή.
Έστω το κέντρο του κύκλου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα έστω ότι τέμνονται στο . Η τέμνει ακόμα το κύκλο στο , σημείο που ζητάμε .
Απόδειξη:
Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει την ευθεία στο .
Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η που διέρχεται από το και άρα ( ) η πολική του θα διέρχεται από το .
Όμως αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα η πολική του θα διέρχεται κι από το , δηλαδή είναι η .
Άμεσες συνέπειες :
1. , έστω δε το κοινό τους σημείο που προφανώς θα είναι το μέσο της χορδής .
2. Αν οι τέμνονται στο τότε η δέσμη, είναι αρμονική κι αφού , η είναι διχοτόμος του .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
JimNt. έγραψε: ↑Τρί Αύγ 13, 2019 10:25 amΑς είναι το σημείο τομης των εφαπτομένων στα και . Τότε αν η επανατεμνει τον κύκλο στο αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω το μέσο της και το σημείο τομής της εκ του περικέντρου , με την τότε αφού αρμονικό το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , άρα, η δέσμη είναι αρμονική . Όμως άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).
7. Διαγραφή μηνύματος που έχει απαντηθεί και αφήνει μετέωρες τις άλλες απαντήσεις είναι ανεπίτρεπτη. Το ίδιο ασφαλώς ισχύει και για αλλοίωση μηνύματος σε τέτοιο βαθμό ώστε να μην βγάζουν νόημα οι επόμενες αναρτήσεις. Το δεοντολογικά ορθό σε περίπτωση λάθους σε μήνυμά μας είναι η επεξεργασία του με τέτοιο τρόπο ώστε από την μία να προειδοποιεί τα μέλη μας για την ύπαρξη του λάθους, και από την άλλη να μην χαλάει τον ειρμό των επόμενων μηνυμάτων.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Αύγ 13, 2019 8:02 pmΕδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη
Είναι γραμμένο το
2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.
Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.
Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.
Και κάτι επι της ουσίας.
Το σημείο του Αλέξαντρου καθώς και το του Νίκου είναι
η τομή των εφαπτομένων του αρχικού κύκλου στα
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Για λόγους και μόνο πλουραλισμού.
Από το θεώρημα της πεταλουδίτσας παίρνουμε και επειδή πρόκειται για τις διχοτόμους των όμοιων τριγώνων αυτά θα είναι ίσα. Τελικά το εγγεγραμμένο τραπέζιο θα είναι ισοσκελές. Επομένως Άρα το προσδιορίζεται ως τομή των κύκλων
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες