Εύρεση σημείου σε κύκλο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Εύρεση σημείου σε κύκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 13, 2019 1:15 am

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png
Εύρεση σημείου σε κύκλο.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές
Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή BC και σταθερό σημείο P του μικρού \tau o\xi BC.

Να βρεθεί σημείο S του μεγάλου \tau o\xi BC που για το μέσο, A, της χορδής PS η AP να διχοτομεί τη γωνία , \widehat {BAC}

δεκτές όλες οι λύσεις .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Αύγ 15, 2019 11:35 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 559
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Αύγ 13, 2019 10:25 am

Ας είναι L το σημείο τομης των εφαπτομένων στα B και C. Τότε αν η LP επανατεμνει τον κύκλο στο E αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω M το μέσο της EP και K το σημείο τομής της εκ του περικέντρου O, OM με την BC τότε αφού EBPC αρμονικό το K είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα E,P άρα, η δέσμη M(KP,BC) είναι αρμονική . Όμως \angle {KMP}=90* άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Τετ Αύγ 14, 2019 5:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 13, 2019 8:02 pm

Εδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη

Είναι γραμμένο το

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.

Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τετ Αύγ 14, 2019 8:18 pm

dixotomos.png
dixotomos.png (241.61 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Καλησπέρα! Μια απόπειρα με ευκλείδεια που γνωρίζω ότι είναι απο τα πιο αδύνατα σημεία μου! :)

'Εστω \displaystyle (\epsilon) ο φορέας του \displaystyle OA. Από το \displaystyle P φέρνω ευθεία \displaystyle (\chi)//AC και έστω \displaystyle G\equiv (\epsilon)\cap(\chi).Από το \displaystyle P φέρνω ευθεία \displaystyle (\psi) //AB και έστω \displaystyle H \equiv (\epsilon) \cap (\psi).Από το \displaystyle H φέρνω ευθεία \displaystyle (\eta )// AC που τέμνει τον κύκλο σ' ένα σημείο έστω \displaystyle S.
Φέρνω και την \displaystyle SP.Mε δεδομένο ότι \displaystyle SA=SP άρα \displaystyle \epsilon \perp SP ,θα δείξω ότι η \displaystyle SP είναι η διχοτόμος της γωνίας \displaystyle \angle BAC.

Φέρνω \displaystyle AM//PH.Στο τρίγωνο \displaystyle \triangle SPH το \displaystyle A μέσο του \displaystyle SP και \displaystyle AM//PH άρα \displaystyle M μέσο \displaystyle SH.Στο τρίγωνο \displaystyle SGH το \displaystyle AM ενώνει τα μέσα δύο πλεύρων του άρα \displaystyle AM//SG \Rightarrow SG//HP. Συνεπώς το τετράπλευρο \displaystyle SGPH έχει τις απέναντι πλεύρες του παράλληλες άρα είναι παρ/μο. Αλλά \displaystyle SP \perp GH οπότε το παρ/μο \displaystyle SGPH είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιες του τέμνονται κάθετα.Συνεπώς \displaystyle \angle ASH = \angle DAC = \theta ως(εντός εκτός και επί τα αυτά), γωνία \displaystyle \angle APH=\angle BAD = \phi ως εντός εναλλάξ και \displaystyle SH=PH ως πλευρές ρόμβου άρα \displaystyle \theta = \phi.
.Λάθος λύση!Γι αυτο την έβαλα σε hide.
τελευταία επεξεργασία από angvl σε Τετ Αύγ 14, 2019 11:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Αύγ 14, 2019 9:02 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 1:15 am
Εύρεση σημείου σε κύκλο.png

Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή BC και σταθερό σημείο P του μικρού \tau o\xi BC.

Να βρεθεί σημείο S του μεγάλου \tau o\xi BC που για το μέσο, A, της χορδής PS η AP να διχοτομεί τη γωνία , \widehat {BAC}

δεκτές όλες οι λύσεις .
euresh_shmeio_se_kuklo.png
euresh_shmeio_se_kuklo.png (24.06 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Για τυχαία χορδή PS ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της M, είναι κύκλος με διάμετρο OP, όπου O το κέντρο του δοσμένου κύκλου. Πράγματι, έχουμε \angle PMO = 90^0 (MO απόστημα της χορδής PS) και τα σημεία P,O είναι σταθερά.

Φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABO και έστω ότι τέμνει τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο στο σημείο M. Έστω Q το αντιδιαμετρικό σημείο του O αυτού του κύκλου, άρα και το μέσο του τόξου AB αυτού. Οπότε \angle AMQ = \angle BMQ. Επίσης ισχύει \angle OMP =\angle OMQ =90^0. Επομένως τα σημεία M,P,Q είναι συνευθειακά.

Άρα το σημείο M με την παραπάνω κατασκευή μας δίνει την ζητούμενη ευθεία  PM, που ορίζει το σημείο S.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Αύγ 15, 2019 10:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 15, 2019 10:45 am

Doloros έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 1:15 am
Εύρεση σημείου σε κύκλο.png

Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή BC και σταθερό σημείο P του μικρού \tau o\xi BC.

Να βρεθεί σημείο S του μεγάλου \tau o\xi BC που για το μέσο, A, της χορδής PS η AP να διχοτομεί τη γωνία , \widehat {BAC}

δεκτές όλες οι λύσεις .
Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την πολύ ωραία του λύση :clap2: . Σχεδόν παρόμοια η δική μου.

Κατασκευή:
Εύρεση σημείου σε κύκλο _πρώτη λύση.png
Εύρεση σημείου σε κύκλο _πρώτη λύση.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Γράφω το κύκλο (O,B,C) κι έστω Tο νότιος πόλος του ενώ προφανώς το O είναι ο Βόρειος πόλος. Η ευθεία TPτέμνει ακόμα το αρχικό κύκλο στο S.

Απόδειξη:

Επειδή \tau o\xi BT = \tau o\xi TC \Leftrightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}. Επειδή \widehat {TAO} = 90^\circ ( βαίνει σε ημικύκλιο) το A είναι μέσο της χορδής PS του κύκλου (O).

Διερεύνηση :
Προφανώς πάντα έχουμε μια και μοναδική λύση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 15, 2019 11:37 am

Ας δούμε και μια τεκμηρίωση της σωστής άποψης του JimNt


Κατασκευή.

Έστω O το κέντρο του κύκλου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C έστω ότι τέμνονται στο T. Η TP τέμνει ακόμα το κύκλο στο S, σημείο που ζητάμε .

Απόδειξη:
Εύρεση σημείου σε κύκλο _δεύτερη λύση.png
Εύρεση σημείου σε κύκλο _δεύτερη λύση.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο S που τέμνει την ευθεία BC στο F.

Η πολική του T ως προς τον κύκλο είναι η BC που διέρχεται από το F και άρα ( La\,\,Hire) η πολική του F θα διέρχεται από το T.

Όμως αφού το FSείναι εφαπτόμενο τμήμα η πολική του F θα διέρχεται κι από το S , δηλαδή είναι η TS.

Άμεσες συνέπειες :

1. OF \bot SP, έστω δε A το κοινό τους σημείο που προφανώς θα είναι το μέσο της χορδής SP.

2. Αν οι BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP τέμνονται στο E τότε η δέσμη, S\left( {F,E\backslash B,C} \right) είναι αρμονική κι αφού AF \bot AE , η AE είναι διχοτόμος του \vartriangle ABC .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 15, 2019 11:58 am

JimNt. έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 10:25 am
Ας είναι L το σημείο τομης των εφαπτομένων στα B και C. Τότε αν η LP επανατεμνει τον κύκλο στο E αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω M το μέσο της EP και K το σημείο τομής της εκ του περικέντρου O, OM με την BC τότε αφού EBPC αρμονικό το K είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα E,P άρα, η δέσμη M(KP,BC) είναι αρμονική . Όμως \angle {KMP}=90* άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 8:02 pm
Εδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη

Είναι γραμμένο το

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.

Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.
7. Διαγραφή μηνύματος που έχει απαντηθεί και αφήνει μετέωρες τις άλλες απαντήσεις είναι ανεπίτρεπτη. Το ίδιο ασφαλώς ισχύει και για αλλοίωση μηνύματος σε τέτοιο βαθμό ώστε να μην βγάζουν νόημα οι επόμενες αναρτήσεις. Το δεοντολογικά ορθό σε περίπτωση λάθους σε μήνυμά μας είναι η επεξεργασία του με τέτοιο τρόπο ώστε από την μία να προειδοποιεί τα μέλη μας για την ύπαρξη του λάθους, και από την άλλη να μην χαλάει τον ειρμό των επόμενων μηνυμάτων.


Και κάτι επι της ουσίας.
Το σημείο Q του Αλέξαντρου καθώς και το T του Νίκου είναι
η τομή των εφαπτομένων του αρχικού κύκλου στα B,C


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Αύγ 26, 2019 4:01 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 1:15 am
Εύρεση σημείου σε κύκλο.png
Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή BC και σταθερό σημείο P του μικρού \tau o\xi BC.
Να βρεθεί σημείο S του μεγάλου \tau o\xi BC που για το μέσο, A, της χορδής PS η AP να διχοτομεί τη γωνία , \widehat {BAC}
δεκτές όλες οι λύσεις .
Για λόγους και μόνο πλουραλισμού.
Από το θεώρημα της πεταλουδίτσας παίρνουμε AT = AT' και επειδή πρόκειται για τις διχοτόμους των όμοιων τριγώνων ABC,\;AB'C' αυτά θα είναι ίσα. Τελικά το εγγεγραμμένο τραπέζιο BCC’B’ θα είναι ισοσκελές. Επομένως \angle BAP = \angle BC'C,\;\;ct. Άρα το A προσδιορίζεται ως τομή των κύκλων e, d.
ΠΕΤ.png
ΠΕΤ.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης