Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm

1.png
1.png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιούλ 21, 2019 11:20 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .
Καλησπέρα!

Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο COL όπως φαίνεται στο σχήμα.
Επειδή OC=OL το L ανήκει στο ημικύκλιο.Από το ισοσκελές ACO έχουμε \angle BOC=80^{\circ} έτσι \angle BOL=80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}=2\angle BAL\Rightarrow A,E,L\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \vartheta \varepsilon \iota \alpha \kappa \acute{\alpha }
Από το ισοσκελές ACD είναι \angle OCE=30^{\circ} άρα CD μεσοκάθετος του OL και έτσι \angle EOL=\angle ELO=\angle EAO=10^{\circ} άρα \angle AEO=20^{\circ} ως εξωτερική του τριγώνου EOL

96.PNG
96.PNG (36.78 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Ιούλ 22, 2019 1:49 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .
Καλημέρα

Στο τρίγωνο OAI,\hat{OAI}=\hat{OIA}=10^{0},


Το τρίγωνο DSB είναι ισοσκελές με DS=SB,\hat{DSB}=40^{0},\hat{ABS}=\hat{BDS}=70^{0}

Ακόμη \hat{ACS}=\hat{ABS}=70^{0},\hat{BOS}=40^{0},\hat{IOS}=60^{0}

Αρα το τρίγωνο OIS είναι ισόπλευρο και το τετράπλευρο COSI είναι ρόμβος και EO=EI,\hat{EOI}=\hat{EIO}=10^{0},\hat{\theta }=10+10=20^{0}

Γιάννης
Συνημμένα
Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.png
Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.png (153.63 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιούλ 22, 2019 5:09 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .
Θεωρώ E' το συμμετρικό του E ως προς την AC.Επειδή \angle EAC=30^{\circ} είναι AEE' ισόπλευρο.
Έχουμε \angle OAE'=60^{\circ}+10^{\circ}=70^{\circ}=180^{\circ}-110^{\circ}=180^{\circ}-\angle E'CO\Leftrightarrow E'COA\,\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha} \psi \iota \mu o
Από το εγγράψιμο έχουμε \angle E'OA=E'CA=70^{\circ}=\angle OAE'\Leftrightarrow EO=E'A=E'E άρα E'OE ισοσκελές.

Είναι E' περίκεντρο του EOA άρα \angle OE'E=20^{\circ} και έτσι \vartheta =\dfrac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2}-60^{\circ}=20^{\circ}


97.PNG
97.PNG (47.76 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιούλ 22, 2019 9:58 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .
Μιά ακόμη

Έστω C' το συμμετρικό του C ως προς την AE.Επειδή \angle EAC=30^{\circ} ACC' ισόπλευρο.
Έστω L\equiv AE\cap OC.Είναι \angle ALO=180^{\circ}-10^{\circ}-100^{\circ}=70^{\circ}=\angle EDO\Leftrightarrow ELOD\,\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha} \psi \iota \mu o

Από το ισοσκελές ADC' είναι \angle ADC'=\angle DC'A=80^{\circ}
Το A είναι περίκεντρο του CDC' έτσι \angle OC'C=30^{\circ}-10^{\circ}=20^{\circ}

Επίσης τα L,O ανήκουν στις μεσοκαθέτους των EE',AC και έτσι \angle OC'A=30^{\circ},\angle LC'C=20^{\circ}

Είναι \angle C'OD=30+20=50^{\circ}=\angle OC'D\Leftrightarrow DO=DC'
Τέλος \angle OLC'=180-10-\left ( 180-20-30 \right )=40^{\circ}=\dfrac{\angle ODC'}{2} άρα DL=DO=DC'

Έτσι έχουμε \vartheta =\angle LDC'-80^{\circ}=20^{\circ}
98.PNG
98.PNG (55.06 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 23, 2019 5:08 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Αν AC=AD, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \theta .

Με \displaystyle CQ \bot AB , \displaystyle CS \bot AE κι επειδή \displaystyle \angle ACE = {70^0} θα είναι \displaystyle \angle PCE = {10^0} οπότε,από το εγγράψιμο \displaystyle CEPA \Rightarrow \angle EPC = {30^0}

Επιπλέον είναι \displaystyle \angle QCP = {10^0} κι επειδή \displaystyle \angle OCD = {30^0} θα είναι \displaystyle \angle OCQ = {10^0}

Έτσι, \displaystyle CQ,CP μεσοκάθετοι των \displaystyle OP,KE αντίστοιχα και \displaystyle \vartriangle KEP ισόπλευρο κι απ το εγγράψιμο \displaystyle CAOK είναι \displaystyle \angle AKO = {40^0}

Άρα \displaystyle 2\theta  = {40^0} \Rightarrow {\text{ }}\boxed{\theta  = \angle AEO = {{20}^0}}
ισοσκελές σε ημικύκλιο.png
ισοσκελές σε ημικύκλιο.png (96.83 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές τρίγωνο εντός ημικυκλίου.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 23, 2019 6:29 pm

Αν η μεσοκάθετος του AO κόψει το ημικύκλιο στο S και την AE στο T θα είναι :

Το τρίγωνο OSA ισόπλευρο , \widehat {SCA} = \dfrac{1}{2}\widehat {SOA} = 30^\circ  = \widehat {EAC} \Rightarrow SC//AE.

Αβίαστα τώρα προκύπτουν:
ισοσκελές σε ημικύκλιο_1.png
ισοσκελές σε ημικύκλιο_1.png (43.02 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές
1. Το τετράπλευρο TECS ισοσκελές τραπέζιο και

2. \vartriangle STO = \vartriangle CEO και άρα :

\widehat \theta  = \widehat \omega  = 2 \cdot 10^\circ  = 20^\circ αφού στο ισοσκελές τρίγωνο TAO η γωνία \widehat \omega είναι εξωτερική.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες