Οι δύο γωνίες τριγώνου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Οι δύο γωνίες τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm

Οι δύο γωνίες τριγώνου.png
Οι δύο γωνίες τριγώνου.png (6.54 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές
Στο σχήμα η AM είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C του τριγώνου \vartriangle ABC.

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 15, 2019 7:06 pm

Μία τριγωνομετρική εκτός φακέλου. Νόμος ημιτόνων στα τρίγωνα ABM, ACM:

\displaystyle \frac{{\sin B}}{{\sin 15^\circ }} = \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sin (135^\circ  - B)}}{{\sin 30^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\sin B + \cos B)

Διαιρώ με με \displaystyle \cos B, \displaystyle 2\tan B = (\sqrt 3  - 1)\tan B + \sqrt 3  - 1 \Leftrightarrow \tan B = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \boxed{\widehat B=30^\circ} και \boxed{\widehat C=105^\circ}


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Δευ Ιούλ 15, 2019 9:14 pm

Καλησπέρα!
Απο το B φέρω BL\perp AH \,\,\, \kappa \alpha \iota \,\,\,BK\perp AC που τέμνονται στο H, ενώ P\equiv BL\cap AC. Τώρα έχουμε τις γωνίες \widehat{KBA}=45^{\circ}\,\,,\,\widehat{LBK}=30^{\circ}\,\,\left ( ABLK\,\, \epsilon \gamma \gamma\rho \alpha \right\psi \iota \mu o )\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat{BPA}=60^{\circ}. Το H είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ABP, οπότε PH\perp AB, ενώ N\equiv PH\cap AB. Είναι \widehat{NPK}=45^{\circ}= \widehat{KBN}, οποτε το τετράπλευρο BNKP είναι εγγράψιμο, άρα \widehat{NKB}=\widehat{BPN}=45^{\circ}. Το τρίγωνο BMK είναι ισοσκελές, αφού KN διάμεσος που βαίνει στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου BKC, άρα \widehat{KBC}=\widehat{BKM}=15^{\circ}, άρα \widehat{ABC}=45-15=30^{\circ} και \widehat{ACB}=180-45-30=105^{\circ}.
Οι δύο γωνίες τριγώνου.PNG
Οι δύο γωνίες τριγώνου.PNG (42.68 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Δευ Ιούλ 15, 2019 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Ιούλ 15, 2019 9:26 pm

1.png
1.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Με πλευρά την AC κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ACP και φέρνω τα τμήματα PB, PM.

Προφανώς \angle PAB=15^{0}. Έστω N\equiv AM\cap PC.

Η AM είναι μεσοκάθετος του PC.

Οπότε PM=MC. Αλλά BM=MC. Άρα \angle BPC=90^{0}.

Από το τρίγωνο BPA εύκολα προκύπτει ότι \angle ABP=15^{0}.

Επομένως PB=PC=PA.

Συνεπώς το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC.

Οπότε \angle B=30^{0}.

Τέλος από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABC έπεται ότι \angle C=105^{0}.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιούλ 15, 2019 9:49 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm


Στο σχήμα η AM είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C του τριγώνου \vartriangle ABC.

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)
Καλησπέρα.
shape.png
shape.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
Φέρω CD,ME \bot AB και θέτω AD = 2k

Θα είναι CD = 2ME = 2k, από \displaystyle \dfrac{{ME}}{{AE}}\mathop  = \limits^{\tan {{15}^ \circ }} 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow AE = k(2 + \sqrt 3 ), οπότε DE = k\sqrt 3  = BE

Τέλος, στο  \triangleleft BEM:\tan \omega = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \omega = {30^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 16, 2019 12:49 am

Καλημέρα σε όλους!
Οι δύο γωνίες N.F.PNG
Οι δύο γωνίες N.F.PNG (17.56 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
Ο κύκλος (M,MA) τέμνει την AM και στο E η δε EB τέμνει τον κύκλο στο H.

ΤοBECA είναι παρ/μο (αφού οι AE,BC διχοτομούνται ) άρα \widehat{BEA}=\widehat{EAC}=30^{0} ενώ AH \perp EH (AE διάμετρος).

Εύκολα βρίσκουμε ότι το τρίγωνο ABH είναι ορθ. και ισοσκελές , το MAH ισόπλευρο και το BHM ισοσκελές.

Έτσι \widehat{BHM}=30^{0}...\widehat{HBM}=75^{0} οπότε \widehat{ABC}=30^{0} και \widehat{ACB}=105^{0}. Φιλικά , Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Τρί Ιούλ 16, 2019 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1650
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 16, 2019 12:50 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm
Οι δύο γωνίες τριγώνου.png

Στο σχήμα η AM είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C του τριγώνου \vartriangle ABC.

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Έστω \displaystyle D συμμετρικό του \displaystyle C ως προς \displaystyle AM.Τότε, \displaystyle \angle DAB = {15^0} και \displaystyle DM = CM = MB

Έτσι, \displaystyle BD \bot DC \Rightarrow \angle ABD = {15^0},άρα\displaystyle BD = DA = DC \Rightarrow \vartriangle BDC

ορθογώνιο-ισοσκελές\displaystyle  \Rightarrow \angle DBM = {45^0} \Rightarrow \boxed{B = {{30}^0}} και \displaystyle \boxed{C = {{105}^0}}
Γωνίες τριγώνου.png
Γωνίες τριγώνου.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Ιούλ 16, 2019 9:09 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm


Στο σχήμα η AM είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C του τριγώνου \vartriangle ABC.

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)
Καλημέρα!
shape2.png
shape2.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές
Έστω ότι ο περίκυκλος του  \triangleleft AMC τέμνει την AB στο D και έστω CE \bot DM

Θέτοντας ME = EC = x εύκολα ισχύει MC \cdot BC = C{D^2} \Rightarrow  \triangleleft CDM \sim  \triangleleft CBD, άρα \angle B = \angle MDC = {30^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιούλ 16, 2019 10:34 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm
Οι δύο γωνίες τριγώνου.png

Στο σχήμα η AM είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C του τριγώνου \vartriangle ABC.

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)
Καλημέρα!

Έστω E,F οι ορθές προβολές των M,B στην ευθεία AC αντίστοιχα.Έχουμε \widehat{MAE}=30^{\circ} άρα AM=2ME.Επίσης αφού M μέσο της BC θα είναι BF=2ME άρα BF=ME\Leftrightarrow AF=ME δηλαδή AMF ισοσκελές και έτσι \widehat{CFM}=\widehat{MCF}=\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}

Άρα \angle C=105^{\circ}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\angle B=30^{\circ}
Capture.PNG
Capture.PNG (20.69 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης