Επιστροφή στις ρίζες

#1

: Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Δίνεται κύκλος (K,R)

και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$ . Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα

$A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο

. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του

που τέμνει την

στο

. Αν η

τέμνει την

στο

, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

του τμήματος

, καθώς το

κινείται στον κύκλο.

Δεκτές λύσεις εντός κι εκτός φακέλου αλλά να δοθεί πρώτα μια τουλάχιστον εντός φακέλου.

Ορέστης Λιγνός · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:19 pm

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png

Δίνεται κύκλος και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$ . Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα

$A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο . Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του που τέμνει την στο

. Αν η τέμνει την στο , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος , καθώς το κινείται στον κύκλο.

Δεκτές λύσεις εντός κι εκτός φακέλου αλλά να δοθεί πρώτα μια τουλάχιστον εντός φακέλου.

Καλησπέρα κ. Νίκο!
Όμορφη άσκηση!

Θα δείξω ότι ο γεωμετρικός τόπος του

είναι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των

και

.

Έστω,

και

τα μέσα των OB,OA

αντίστοιχα, και ξαναορίζοντας $M \equiv PQ \cap EC$ , αρκεί το

να είναι μέσο του

.

Τα τρίγωνα $\vartriangle KAC$ , και $\vartriangle OAE$ είναι ίσα, καθώς είναι προφανώς ορθογώνια, έχουν OA=AK

(από το τετράγωνο OAKB

) και επίσης είναι $\angle KCA=90^\circ-\angle TAC=\angle OEA$ .

Οπότε, CA=OE

και αφού

, προκύπτει QC=PE

.

Τώρα, έχουμε δύο τρόπους για να ολοκληρώσουμε τη λύση :

i) Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle OCE$ με διατέμνουσα $\overline{PQM}$ , προκύπτει $\dfrac{MC}{ME}=\dfrac{QC}{QO} \cdot \dfrac{PO}{PE}=1$ , καθώς QC=PE

και

.

Οπότε, MC=ME

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ii) Από Ν.Ημιτόνων, $\dfrac{QC}{MC}=\dfrac{\sin \angle QMC}{\sin \angle MQC}=$ $\dfrac{\sin \angle PME}{\sin \angle EPM}=\dfrac{PE}{ME}$ , οπότε αφού $PE=QC \Rightarrow ME=MC$ και πάλι τελειώσαμε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:19 pm
Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png

Δίνεται κύκλος και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$ . Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα

$A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο . Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του που τέμνει την στο

. Αν η τέμνει την στο , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος , καθώς το κινείται στον κύκλο.

Δεκτές λύσεις εντός κι εκτός φακέλου αλλά να δοθεί πρώτα μια τουλάχιστον εντός φακέλου.

Καλησπέρα!

Έστω

το μέσο του

και $N\equiv ML\cap AO$

Το τετράπλευρο SOEC

( $S\equiv KC\cap AT$ ) είναι εγγράψιμο και KA=AO

έτσι

Φέρω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

και έστω $G\equiv AE\cap MP$ .

Έχουμε $MG=\dfrac{AC}{2}=OP$ και $PG=\dfrac{AO}{2}=LO$ άρα $LP=PM\Leftrightarrow \widehat{MLP}=45^{\circ}$ έτσι ML//AB

και

μέσο του

δηλαδή το

ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα μέσα των AO,BO

.

: 88.PNG (28.32 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Ορέστης Λιγνός · #4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 4:39 pm

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:19 pm
Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png

Δίνεται κύκλος και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$ . Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα

$A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο . Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του που τέμνει την στο

. Αν η τέμνει την στο , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος , καθώς το κινείται στον κύκλο.

Δεκτές λύσεις εντός κι εκτός φακέλου αλλά να δοθεί πρώτα μια τουλάχιστον εντός φακέλου.
Καλησπέρα!

Έστω το μέσο του και $N\equiv ML\cap AO$

Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και έτσι
Φέρω από το παράλληλη στην που τέμνει την στο και έστω $G\equiv AE\cap MP$ .

Έχουμε $MG=\dfrac{AC}{2}=OP$ και $PG=\dfrac{AO}{2}=LO$ άρα $LP=PM\Leftrightarrow \widehat{MLP}=45^{\circ}$ έτσι και μέσο του δηλαδή το ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα μέσα των .

88.PNG

Ωραίο Πρόδρομε!

Επιστροφή στις ρίζες

Επιστροφή στις ρίζες

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Μέλη σε σύνδεση